Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [21]

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

1. Είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0,+\mathrm{\infty })$.
2. Παρουσιάζει μέγιστο στη θέση $x_0$ με τιμή $f(x_0)=2x_0$.
3. $f^{\prime }(x)<0$ για κάθε $x\in (0,x_0]$. 
4. Έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο $+\mathrm{\infty }$ την ευθεία $y=0$.

α) Να υπολογίσετε (αν υπάρχουν) τα όρια:

i) $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{1}{f(x)}}$

ii) $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x+f(x)}{\sqrt{x^2+1}-1}}$ 

iii) $\underset{x\to x_0}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-2x}{(x-x_0)f(x)}}$ 

β) Να αποδείξετε ότι ισχύει 

$0<{\displaystyle \frac{2x_0}{x_0-1}}<f^{\prime }(1)$.

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_1\in (1,x_0)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ στο σημείο $(x_1,f(x_1))$ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

δ) Αν $E(\mathrm{\Omega })$ το εμβαδό του επιπέδου χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$, τον άξονα $x^{\prime }x$ και την ευθεία $x=x_0$, να αποδείξετε ότι: $$E(\mathrm{\Omega })<2x_0(x_0-1)$$