Το Πρόβλημα της Βασιλείας: Όταν οι Φυσικοί Αριθμοί Συναντούν το π

Το Πρόβλημα της Βασιλείας (Basel problem), ένα κλασικό πρόβλημα των μαθηματικών, ζητά να βρεθεί η τιμή του άπειρου αθροίσματος των αντιστρόφων των τετραγώνων όλων των φυσικών αριθμών. Δηλαδή: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=1+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{25}}+\cdots$$

Ο Leonard Euler, το 1735, απέδειξε ότι αυτό το άθροισμα συγκλίνει στην τιμή: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{6}}$$ Αυτή η ανακάλυψη συνδέει τους φυσικούς αριθμούς με την σταθερά $\pi$, αποτελώντας ένα εντυπωσιακό αποτέλεσμα της μαθηματικής ανάλυσης.