Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [1-13]

1. Να αποδείξετε ότι: $$a^2+{\beta }^2+{\gamma }^2\ge 9R^2$$

2. Να αποδείξετε ότι: 

$(4R+\rho {)}^2+2\tau [\frac{R}{\rho }\sqrt{(\tau -\alpha )}+\sqrt{(\tau -\beta )}+\sqrt{(\tau -\gamma )}]\ge$

$\ge {\tau }^2+2\tau (4R+\rho )R\rho [{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\alpha (\tau -\alpha )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\beta (\tau -\beta )}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\gamma (\tau -\gamma )}}}]$ 

3. Να αποδείξετε ότι: $$\sqrt{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}\le \sum {[(\sqrt{2}+1)\sigma \upsilon \nu \frac{A}{8}-\eta \mu \frac{A}{8}]}^{-1}$$ 4. Να αποδείξετε ότι: $$E\le \frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^2$$ 5. Να αποδείξετε ότι: $${\tau }^2\ge 2R^2+8R\rho +3{\rho }^2$$ 6. Να αποδείξετε ότι: $$\sigma \upsilon \nu A\sigma \upsilon \nu B\sigma \upsilon \nu \mathrm{\Gamma }\le \frac{2E^2}{27R^4}$$ 7. (Γ. Τζίντζιφας, 1985) Αν $k,\lambda ,\mu \in {\mathbb{R}}^{\ast }$, να αποδείξετε ότι: $$\frac{\kappa {\alpha }^4}{\lambda +\mu }+\frac{\lambda {\beta }^4}{\mu +\kappa }+\frac{\mu {\gamma }^4}{\kappa +\lambda }\ge 8E^2$$ Με τη βοήθεια της ανισότητας Τζίντζιφα να αποδείξετε ότι:

8. Να αποδείξετε ότι: $${\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4\ge 16E^2$$ 9. Να αποδείξετε ότι: $$3{\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4\ge 24E^2$$ 10. Να αποδείξετε ότι: $$2{\alpha }^4+5{\beta }^4+10{\gamma }^4\ge 80E^2$$ 11. Να αποδείξετε ότι: $$\frac{{\alpha }^4}{\gamma }+\frac{{\beta }^4}{\alpha }+\frac{{\gamma }^4}{\beta }\ge \frac{({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2{)}^2}{\alpha +\beta +\gamma }$$ 12. Να αποδείξετε ότι: $$\frac{{\alpha }^5}{\beta +\gamma }+\frac{{\beta }^5}{\gamma +\alpha }+\frac{{\gamma }^5}{\alpha +\beta }\ge 8E^2$$ 13. Να αποδείξετε ότι: $$\frac{{\alpha }^3}{\gamma (\gamma +\alpha )}+\frac{{\beta }^3}{\alpha (\alpha +\beta )}+\frac{{\gamma }^3}{\beta (\beta +\gamma )}\ge \frac{2E}{R}$$ Από το βιβλίο «Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο», του Δ. Κοντογιάννη.