Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [6]

Έστω συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0,+\mathrm{\infty })$ και για την οποία ισχύουν: 

• $f(1)=1$ 
• $(x-1)f^{″}(x)+2f^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, για κάθε $x>0$ 

 α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\ln x}{x-1}},& 0<x\ne 1\\ 1,& x=1\end{array}$ 

 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και ότι το σύνολο τιμών της είναι το $(0,+\mathrm{\infty })$. 

 γ) Να αποδείξετε ότι 

$f^{″}(1)={\displaystyle \frac{2}{3}}$. 

 δ) Έστω συνάρτηση $g:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τις σχέσεις $g(1)=1$ και 

$(g(x)-f(x))(g(x)+3f(x))=0$

για κάθε $x>0$. Να αποδείξετε ότι $f=g$. 

ε) Ένα σημείο $M$ κινείται στη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό 4 cm/sec. Αν $A$ είναι η προβολή του σημείου $M$ στον άξονα $x^{\prime }x$ και $B$ τυχαίο σημείο του άξονα $y^{\prime }y$, να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου $ABM$ τη χρονική στιγμή κατά την οποία το $M$ διέρχεται από το σημείο $(1,f(1))$.