Οι αριθμοί Fibonacci κρύβονται πίσω από αυτό το πρόβλημα

Μπορείτε να βρείτε όλα τα ζεύγη ακεραίων αριθμών $a$ και $b$ ώστε το γινόμενο ababab να διαιρεί ακριβώς την έκφραση $a^2+b^2+1$;

🔍 Η πρόκληση:

Ζητείται να εντοπίσετε όλα τα ζεύγη θετικών ή αρνητικών ακεραίων αριθμών $(a,b)$ για τα οποία το γινόμενο $$ab\$$ διαιρεί ακριβώς το άθροισμα $a^2+b^2+1$, δηλαδή:

$ab\mid a^2+b^2+1$.

✨ Η λύση:

Το 1996, ο μαθηματικός Daniel Schepler απέδειξε ότι όλα τα ζεύγη λύσεων έχουν μια πολύ όμορφη και απρόσμενη μορφή:

Οι λύσεις δίνονται από τους αριθμούς Fibonacci και συγκεκριμένα είναι της μορφής:

$$(a, b) = (F_{2n+1}, F_{2n-1}),$$

όπου $F_n​$ είναι ο $n$-οστός αριθμός Fibonacci, δηλαδή η ακολουθία:

$$F_1 = 1, \; F_2 = 1, \; F_3 = 2, \; F_4 = 3, \; F_5 = 5, \; F_6 = 8, \; F_7 = 13, \ldots$$

Για παράδειγμα, μία λύση είναι το ζεύγος $(F_3,F_1)=(2,1)$, καθώς:

$$2 \times 1 \mid 2^2 + 1^2 + 1 \quad \Rightarrow \quad 2 \times 1 = 2 \mid 4 + 1 + 1 = 6 \quad \text{(σωστό)}.$$

📖 Η πλήρης απόδειξη και η ανάλυση του προβλήματος δημοσιεύτηκαν στο άρθρο "A Recurrence of Fibonacci" των Richard Guy και Richard Nowakowski, στο περιοδικό The American Mathematical Monthly, το 1996.