30 Έννοιες που Μπερδεύουν Μαθητές και Δασκάλους (1/30)

0,999… = 1; Μια Μαθηματική Έκπληξη!

Φανταστείτε κάποιον να σας λέει ότι $0,999\dots$ – δηλαδή το $0,9$ που επαναλαμβάνεται επ’ άπειρον το $9$ – είναι το ίδιο με το $1$. Η πρώτη σας αντίδραση ίσως είναι: «Μα πώς γίνεται; Το $0,999\dots$ μοιάζει ελάχιστα μικρότερο από το $1$!» 

Κι όμως, τα μαθηματικά μας αποκαλύπτουν ότι αυτά τα δύο είναι ισοδύναμα. Ας δούμε πώς και γιατί, με τρόπο απλό και λογικό.

1. Μια πρώτη απόδειξη με αριθμητική

Ας πάρουμε τον αριθμό $0,999\dots$ και ας τον ονομάσουμε $x$. Δηλαδή:

$x=0,999\dots$

Τώρα, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $10$:

$10x=9,999\dots$

Αν αφαιρέσουμε την αρχική μας εξίσωση από αυτή τη νέα, τι συμβαίνει;

$10x-x=9,999\dots -0,999\dots$

$9x=9$

Και τώρα, διαιρούμε με $9$:

$x=1$

Άρα,

$x=0,999\dots =1.$

Με απλή αριθμητική, φτάσαμε σε ένα εντυπωσιακό συμπέρασμα!

2. Η έννοια του «άπειρου»

Γιατί όμως αυτό μας φαίνεται παράξενο; Ο λόγος κρύβεται στο «άπειρο». Το $0,999\dots$ δεν είναι ένας συνηθισμένος αριθμός που τελειώνει κάπου. Τα $9$ συνεχίζονται για πάντα. Αυτό σημαίνει ότι η διαφορά ανάμεσα στο $0,999\dots$ και στο $1$ γίνεται όλο και μικρότερη, τόσο μικρή που… εξαφανίζεται! Στα μαθηματικά, όταν μιλάμε για άπειρες επαναλήψεις, χρησιμοποιούμε την έννοια των ορίων.

3. Τα όρια μπαίνουν στο παιχνίδι

Ας το δούμε αλλιώς. 

Σκεφτείτε το $0,999\dots$ σαν μια σειρά:

$0,9$ (ένα $9$) είναι $0,9$

$0,99$ (δύο $9$) είναι $0,99$

$0,999$ (τρία $9$) είναι $0,999$

Και ούτω καθεξής…

Κάθε βήμα προσθέτει ένα ακόμα $9$ και πλησιάζει το $1$. Όσο περισσότερα $9$ βάζουμε, τόσο πιο κοντά φτάνουμε. Στο άπειρο, η απόσταση ανάμεσα στο $0,999\dots$ και το $1$ γίνεται μηδέν. Με μαθηματικούς όρους, το όριο αυτής της σειράς καθώς τα $9$ τείνουν στο άπειρο είναι ακριβώς $1$.

4. Μια γεωμετρική αναλογία

Φανταστείτε ότι κόβετε μια πίτα. Παίρνετε τα  ${\displaystyle \frac{9}{10}}$  της, μετά τα  ${\displaystyle \frac{9}{10}}$  από το υπόλοιπο, και συνεχίζετε έτσι επ’ άπειρον. Πόσο από την πίτα θα έχετε πάρει στο τέλος; Όλη την πίτα! Αυτό δείχνει ότι το $0,999\dots$ δεν αφήνει κανένα «κενό» μέχρι το $1$.

5. Γιατί μας μπερδεύει;

Η διαίσθησή μας δυσκολεύεται επειδή σκεφτόμαστε πεπερασμένους αριθμούς. Όταν λέμε $0,999$ με τρία $9$, είναι όντως μικρότερο από το $1$. Αλλά το $0,999\dots$ δεν είναι πεπερασμένο – το «άπειρο» αλλάζει τους κανόνες. Δεν υπάρχει αριθμός που να μπορεί να μπει ανάμεσα στο $0,999\dots$ και το $1$, άρα είναι το ίδιο πράγμα.

Η ομορφιά των μαθηματικών

Η ισοδυναμία $0,999\dots =1$ είναι ένα παράδειγμα που δείχνει πώς τα μαθηματικά ξεπερνούν τη διαίσθηση και μας οδηγούν σε βαθύτερες αλήθειες. Χάρη στα όρια και την έννοια του απείρου, βλέπουμε ότι δύο φαινομενικά διαφορετικά πράγματα είναι στην πραγματικότητα ένα. Την επόμενη φορά που θα δείτε ένα $0,999\dots$, θυμηθείτε: είναι ένα $1$ με… στυλ!