Επιστολή Fermat προς τον Frenicle

Στις 18 Οκτωβρίου του 1640, ο Fermat έγραψε σε ένα γράμμα του προς τον Frenicle ότι αν ο αριθμός $p$ είναι πρώτος, τότε ο $p$ διαιρεί τον αριθμό $α^{p – 1} – 1$, για όλους τους ακέραιους αριθμούς α που δεν διαιρούνται από το $p$.

Η πρόταση αυτή σήμερα είναι γνωστή ως το μικρό θεώρημα του Fermat.

Μια ισοδύναμη διατύπωση είναι ότι αν ο $p$ είναι πρώτος τότε ο $p$ διαιρεί το $a^p – a$ για όλα τα ακέραια $a$. Το ερώτημα που προέκυψε φυσικά είναι αν η συγκεκριμένη ιδιότητα ικανοποιείται μόνο από τους πρώτους αριθμούς.
Ωστόσο ο Carmichael το 1910 παρατήρησε ότι για τον σύνθετο αριθμό 561 (= 3∙11∙17) η σχέση ικανοποιείται για όλα τα $α$. Πιο πριν, το 1899 ο Korselt είχε παρατηρήσει ότι μπορούμε να δοκιμάσουμε για τέτοιους αριθμούς αν χρησιμοποιήσουμε αυτό το οποίο ονομάζουμε:

Κριτήριο του Korselt

Ο $n$ διαιρεί το $α^n – α$ για όλους τους ακεραίους $α$ αν και μόνο αν ο $n$ είναι ελεύθερος τετραγώνου και ο $p – 1$ διαιρεί το $n – 1$ για όλους τους πρώτους $p$ που διαιρούν το $n$.

Σε μια σειρά εργασιών του, γύρω στα 1910, ο Carmichael ξεκίνησε μια σε βάθος μελέτη των σύνθετων αριθμών με αυτή την ιδιότητα, οι οποίοι έγιναν γνωστοί σαν αριθμοί Carmichael. Το 1912 σε μια εργασία του ο Carmichael παρουσίασε έναν αλγόριθμο να παράγουμε τέτοιους αριθμούς και διατύπωσε ότι «η λίστα (των αριθμών Carmichael) μπορεί να είναι άπειρη».

Το 1939 ο Chernick παρατήρησε ότι αν οι αριθμοί $p = 6m + 1$, $q = 12m + 1$ και $r = 18m + 1$ είναι όλοι πρώτοι τότε ο pqr είναι αριθμός Carmichael. O Richard Pinch ανακάλυψε 8.241 αριθμούς Carmichael μέχρι το $10^12$, 19279 μέχρι το $10^13$, 44706 μέχρι το $10^14$ και 105212 μέχρι το $10^15$. Πολλοί συγγραφείς έχουν υπολογίσει διάφορα άνω φράγματα για το πλήθος των αριθμών Carmichael σε διαστήματα.

Είναι σχετικά εύκολο να αποδειχτεί ότι οι αριθμοί Carmichael είναι περιττοί, είναι ελεύθεροι τετραγώνου (κάθε πρώτος στην ανάλυση τους εμφανίζεται στην πρώτη δύναμη) και έχουν τουλάχιστον τρεις πρώτους παράγοντες.

Το 1994, οι Alford – Granville – Pomerance απέδειξαν ότι υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί.