Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [3]

Δίνονται οι συναρτήσεις: 

$f(x)=\ln x-1+\frac{1}{x}$

και 

$g(x)=(x\ln x-x+1)\ln x$

με $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)\ge 0$ 

για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $g$ ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $g$ ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της $C_g$. 

δ) Αν $A$ είναι το σημείο καμπής της $C_g$ και $B(e,g(e))$, να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_g$ και το ευθύγραμμο τμήμα $AB$.