Τριγωνομετρικό Όριο

Nα αποδειχθεί ότι:

Απόδειξη

- Για $x=0$, προφανώς ισχύει η ισότητα.

- Για $x\in (0,\pi /2)$, από το διπλανό σχήμα έχουμε: $$\sin x=(M{M}_1)<(MA)<(\text{τοξ }MA)=x.$$

Άρα: $$|\sin x|<|x|,\text{για κάθε }x\in (0,\pi /2).(1)$$ 

- Για $x\in (-\pi /2,0)$, είναι $-x\in (0,\pi /2)$, οπότε λόγω της (1), έχουμε: $$|\sin (-x)|<|-x|,\text{ή, ισοδύναμα, }|\sin x|<|x|.$$ 

- Για $x\notin (-\pi /2,\pi /2)$, είναι $|x|\ge \pi /2>1\ge |\sin x|,$ οπότε: $$|\sin x|<|x|.$$

Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις ισχύει $|\eta \mu x|\le x$, με την ισότητα να ισχύει μόνο για $x=0$.

Από το σχολικό βιβλίο των μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου.