Η Αυτοαναφορά στη Λογική: Το Παράδοξο του Curry

Το παράδοξο του Curry, το οποίο ονομάζεται και παράδοξο του Curry-Howard, είναι ένα παράδοξο στη λογική που αναδεικνύει προβλήματα με την αυτοαναφορά και την αποδειξιμότητα σε συστήματα λογικής. 

Είναι συγγενές με το παράδοξο του Löb, και η βασική του ιδέα είναι η εξής:

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια πρόταση $(C)$ που λέει "Αν αυτή η πρόταση $(C)$ είναι αποδείξιμη, τότε ισχύει κάτι άλλο, ας πούμε $(P)$". 

Συμβολικά, αυτό γράφεται ως:

$C\equiv \square C\to P$

Όπου:

• □ σημαίνει "είναι αποδείξιμο ότι",
• ( C ) είναι η πρόταση που αναφέρεται στην ίδια της την αποδειξιμότητα,
• ( P ) είναι οποιαδήποτε άλλη πρόταση.

Το παράδοξο αναδύεται με την εξής ακολουθία:

1. Αν υποθέσουμε ότι $(C)$ είναι αποδείξιμο (δηλαδή $\square C$), τότε από την ίδια την ορισμό της $(C)$, έχουμε ότι $\square C\to P$ είναι αληθές, άρα $(P)$ πρέπει να ισχύει.
2. Αλλά αν $(P)$ είναι αληθές, τότε, ανεξάρτητα από το τι είναι το $(P)$, η πρόταση $(C)$ μπορεί να αποδειχθεί μέσω μιας απλής απόδειξης που ακολουθεί από την αλήθεια του $(P)$, αφού $(C)$ ακριβώς λέει ότι αν είναι αποδείξιμο, τότε $(P)$ ισχύει.

Αυτό οδηγεί σε μια ατέρμονη αυτοαναφορά όπου η αποδειξιμότητα της $(C)$ εξαρτάται από την αλήθεια της $(P)$, και η αλήθεια της $(P)$ εξαρτάται από την αποδειξιμότητα της $(C)$. Αυτό το παράδοξο δείχνει ότι σε ορισμένα συστήματα λογικής, η αυτοαναφορά μπορεί να οδηγήσει σε αντιφάσεις ή σε απρόβλεπτες συνέπειες.

Το παράδοξο του Curry είναι σημαντικό στη θεωρία της λογικής και των μαθηματικών, καθώς φέρνει στην επιφάνεια ζητήματα όπως η ατελής απόδειξη, η αυτοαναφορά, και η σχέση μεταξύ μαθηματικών αποδείξεων και λογικών συστημάτων.