Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο

Ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να εκφραστεί ως άπειρο γινόμενο με διάφορους τρόπους. Ένας από τους πιο γνωστούς τύπους είναι το άπειρο γινόμενο του Euler: $$\ln (2)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n{)}^2}{(2n-1)(2n+1)}\right)$$

Ένα άλλο άπειρο γινόμενο για τον φυσικό λογάριθμο, που ισχύει για $0<x<2$, είναι: $$\ln (x)=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{1}{2n-1}\right){\left(\frac{x-1}{x+1}\right)}^{2n-1}$$ Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Weierstrass, έχουμε: $$\ln (x)=(x-1)\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x-1}{n})e^{-(x-1)/n}$$ Αυτές οι εκφράσεις δείχνουν τη βαθιά σχέση του φυσικού λογαρίθμου με τη θεωρία αριθμών και τη μαθηματική ανάλυση.

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση