Το Άλυτο Πρόβλημα Κάλυψης του Lebesgue

Το Άλυτο Πρόβλημα Κάλυψης του Lebesgue είναι ένα διάσημο ερώτημα της διακριτής γεωμετρίας που τέθηκε το $1914$ από τον Henri Lebesgue και παραμένει άλυτο μέχρι σήμερα. Το πρόβλημα ασχολείται με την εύρεση της ελάχιστης περιοχής (εμβαδού) που μπορεί να καλύψει κάθε επίπεδο κυρτό σύνολο με διάμετρο ίση με $1$. 

Διατύπωση του Προβλήματος 

Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή περιοχή ενός σχήματος που μπορεί να καλύψει κάθε κυρτό επίπεδο σύνολο με διάμετρο $1$; 

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο διαμέτρου 1 δεν χωράει μέσα σε κύκλο διαμέτρου 1

Σημαντικά Στοιχεία:

Διάμετρος: Η διάμετρος ενός συνόλου \( S \) είναι η μέγιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων του \( S \). Κυρτά Σύνολα: Ορίζεται ως οποιοδήποτε σύνολο στο επίπεδο όπου η ευθεία γραμμή που ενώνει δύο οποιαδήποτε σημεία του ανήκει ολόκληρη στο σύνολο. 

Υποψήφιες Λύσεις

Εξάγωνο Lebesgue: Ένα κανονικό εξάγωνο με διάμετρο 1 έχει εμβαδόν περίπου \( 0.866 \). 

Κύκλος: Ένας κύκλος με διάμετρο $1$ έχει εμβαδόν \( \dfrac{\pi}{4} \approx 0.785 \), το οποίο είναι μικρότερο από το εξάγωνο αλλά δεν καλύπτει όλα τα κυρτά σύνολα. 

Τετράγωνο: Ένα τετράγωνο με πλευρά \( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \) έχει εμβαδόν \( 0.5 \), αλλά και αυτό δεν καλύπτει όλα τα κυρτά σύνολα.

Σημερινή Κατάσταση 

Παρά τις πολλές προσεγγίσεις, δεν έχει βρεθεί μέχρι σήμερα απόδειξη για το ποιο είναι το ελάχιστο σχήμα ή εμβαδόν που καλύπτει όλα τα κυρτά σύνολα με διάμετρο $1$. Το πρόβλημα παραμένει ανοικτό και αποτελεί πρόκληση για τη μαθηματική κοινότητα.