Όγκος στερεού εκ περιστροφής

Πρόβλημα

Ο κύβος με κορυφές $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(1,1,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$ περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $(0,0,0)$ και $(1,1,1)$. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

Η λύση του Κώστα Δόρτσιου:

Πράγματι το θέμα αυτό έχει την ομορφιά του! Η περιστροφή του κύβου! Μια περιστροφή γύρω από ένα σταθερό άξονα, τη διαγώνιο του. Και φανταστείτε να ζητούσαμε ο άξονας αυτός να εκτελεί και μια δική του κίνηση...(Αστρονομία)

Το αποτέλεσμα φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

Αν προσέξουμε το σχήμα αυτό το οποίο αναρτώ και στη δυναμική του μορφή τότε θα διακρίνουμε ότι το σχήμα αυτό αποτελείται από:

1ο) Δυο κωνικές επιφάνειες (δυο κώνοι) που διαγράφουν αντίστοιχα κάθε φορά οι τρεις ακμές του κύβου που οι οποίες συντρέχουν στις κορυφές $A=(0,0,0)$ και G=(1,1,1)$ και

2) Από μια υπερβολοειδή επιφάνεια που διαγράφεται από τις υπόλοιπες έξι ακμές του κύβου αυτού.

Το δυναμικό σχήμα μπορείτε να το δείτε στο σύνδεσμο: geogebra.org/m/ueujnyxw

• Παρατηρούμε ακόμα μερικά άλλα στοιχεία του προβλήματος αυτού.

Εργαζόμαστε στο πρώτο σχήμα που ακολουθεί:

Προβάλλοντας την ακμή ${\displaystyle AE}$ επί της διαγωνίου ${\displaystyle AG}$και σκεπτόμενοι το ορθογώνιο τρίγωνο ${\displaystyle (AEG)}$ έχουμε: 

 ${\displaystyle (AE{)}^2=(AS)(AG)\Rightarrow (AS)=\frac{\sqrt{3}}{3}(1)}$ 

 κι αυτό διότι: 

${\displaystyle (AE)=1}$ και ${\displaystyle (AG)=\sqrt{3}}$.

Από το ίδιο ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι: 

 ${\displaystyle (ES{)}^2=(AS)(SG)\Rightarrow (ES)=\frac{\sqrt{6}}{3}(2)}$ 

 Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται ότι και οι κορυφές ${\displaystyle B,D}$ προβάλλονται στο ίδιο σημείο ${\displaystyle S}$  και απέχουν από το σημείο αυτό (και συνεπώς από τη διαγώνιο ${\displaystyle AG)}$ απόσταση όσο και η κορυφή ${\displaystyle E}$. Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι οι ακμές ${\displaystyle AE,AB,AD}$ ανήκουν στον ίδιο κώνο με κορυφή το σημείο ${\displaystyle A}$ και βάση τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο ${\displaystyle (BED)}$, όπως δείχνει το ακόλουθο σχήμα:

Ο όγκος του κώνου αυτού είναι: 

${\displaystyle V_1=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\pi (SE{)}^2(AS)}$  

και λόγω των (1) και (2) θα είναι:

${\displaystyle V_1=\frac{2\sqrt{3}\pi }{27}(3)}$ 

Το ίδιο ισχύει και για τις κορυφές ${\displaystyle C,H,Z}$, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα:

Έτσι ο δεύτερος αυτός κώνος είναι ίσος με τον προηγούμενο και θα είναι:

 ${\displaystyle V_2=\frac{2\sqrt{3}\pi }{27}(3).}$ 

 Έτσι οι δυο αυτοί κώνοι έχουν άθροισμα: 

${\displaystyle V_{kon}=\frac{4\sqrt{3}\pi }{27}(4)}$ 

Στην περίπτωσή μας, ενδιαφέρει να βρούμε την εξίσωση της επιφάνειας την οποία θα διαγράψουν οι έξι ακμές του κύβου οι οποίες δεν συντρέχουν στις κορυφές ${\displaystyle A}$ και ${\displaystyle G}$ κατόπιν να την "κατασκευάσουμε" με λογισμικό και τέλος να βρούμε τον όγκο που αυτή σχηματίζει. Για απλούστευση θα θεωρήσουμε τον δοθέντα κύβο σε μια θέση ώστε η κορυφή ${\displaystyle A}$ να παραμένει στην ίδια θέση, αλλά η κορυφή ${\displaystyle G}$ να ανήκει στον άξονα ${\displaystyle x^{\prime }Ox}$, όπως αυτό φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

Η θέση αυτή η οποία προέκυψε από την αρχικά δοθείσα με δυο κατάλληλες περιστροφές έχουν προκύψει οι ακόλουθες τιμές - συντεταγμένες των οκτώ κορυφών: 

$A=(0,0,0),B=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},0,{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}})$ ,

$C=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}),D=(2{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}})$

$E=(2\frac{\sqrt{3}}{3},0,-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}),Z=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}})$ , 

$H=(2{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}},{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}),G=(\sqrt{3},0,0)$.

Οι έξι ακμές οι οποίες περιστρεφόμενες θα δημιουργήσουν την τρίτη επιφάνεια είναι οι ακόλουθες:

 ${\displaystyle (BD),(DC),(CE),(EZ),(ZH),(HB)}$ 

όπως αυτές φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

Τα άκρα των έξι αυτών ίσων μεταξύ των ακμών του κύβου κινούνται πάνω σε δυο κύκλους όπως αυτοί φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

Οι κύκλοι αυτοί έχουν κέντρα: 

${\displaystyle K=(\frac{\sqrt{3}}{3},0,0),L=(2\frac{\sqrt{3}}{3},0,0)}$. 

(Ας θυμηθούμε τους δύο κώνους πιο πάνω).

Ύστερα από αυτά τα έξι αυτά τμήματα θα γράφουν την ίδια επιφάνεια καθώς θα περιστρέφονται γύρω από τον άξονα ${\displaystyle x^{\prime }Ox}$. 

Θα μελετήσουμε λοιπόν την επιφάνεια που σχηματίζει ένα από αυτά έστω το τμήμα ${\displaystyle BD}$.

(Συνέχεια...)  

Θα βρούμε την εξίσωση της επιφάνειας που διαγράφει η ακμή ${\displaystyle BD}$ και κατά συνέπεια και οι υπόλοιπες ${\displaystyle (DC),(CE),(EZ),(ZH),(HB)}$ όπως αναφέρθηκε στην προηγουμένως.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Η παραμετρική εξίσωση της ακμής ${\displaystyle (BD)}$ είναι: 

Αν στις συντεταγμένες της εξίσωσης (1) εφαρμόσουμε τον πίνακα στροφής γύρω από τον άξονα των ${\displaystyle x^{\prime }x}$ τότε καταλήγουμε στην εξίσωση της επιφάνειας που διαγράφει η ακμή αυτή.

Η εξίσωση αυτή προκύπτει ότι είναι η κατωτέρω:

Γιατί όμως η επιφάνεια αυτή είναι μια υπερβολοειδής;

Από την εξίσωση (2) εύκολα προκύπτει:

${\displaystyle y^2+z^2=R^2,R=\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{u^2-u+1},u=0..1(3)}$

Η εξίσωση (3) δηλώνει ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου ${\displaystyle u}$ η επιφάνεια ${\displaystyle S}$ τέμνει το επίπεδο ${\displaystyle yOz}$ σε κύκλο ακτίνας ${\displaystyle R}$.

Αν τώρα θεωρήσουμε ότι ${\displaystyle y=0}$, τότε στο επίπεδο ${\displaystyle xOz}$ θα προκύψει η τομή της επιφάνειας ${\displaystyle S}$ με το επίπεδο αυτό.

Δηλαδή τότε θα έχουμε:

Από τις (4) και (5) απαλείφοντας την παράμετρο ${\displaystyle u}$ καταλήγουμε στην καρτεσιανή μορφή της τομής της επιφάνειας ${\displaystyle S}$ με το επίπεδο ${\displaystyle xOy}$.

Αυτή είναι:

Ο περιορισμός αυτής στην περιοχή που μας ενδιαφέρει θα είναι:

${\displaystyle z=\sqrt{2}\sqrt{x^2-\sqrt{3}x+1},\frac{\sqrt{3}}{3}\le x\le \frac{2\sqrt{3}}{3}(7)}$

Η συνάρτηση αυτή εύκολα διαπιστώνεται ότι είναι μια υπερβολή. 

Τα ευρήματα αυτά εμφανίζονται στο επόμενο σχήμα:

(Συνέχεια)

Ολοκληρώνοντας με την αναζήτηση του όγκου του στερεού αυτού εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Σύμφωνα με τον τύπο (7) της προηγούμενης ανάρτησης, δηλαδή: 

υπολογίζουμε κατά τα γνωστά τον όγκο του στερεού αυτού εκ περιστροφής: 

Μετά από πράξεις το ολοκλήρωμα της σχέσης (1) είναι:

Όμως από τη σχέση (4) της δεύτερης συνέχειας μου που αναρτήθηκε για το θέμα αυτό, το άθροισμα των όγκων των δυο κώνων είναι: 

Έτσι ο συνολικός όγκος του στερεού που προκύπτει από την περιστροφή του κύβου αυτού είναι:

Αναρτώ και τη διεύθυνση ενός όμορφου σχήματος για το υπερβολοειδές αυτό στην ακόλουθη διεύθυνση:  https://www.geogebra.org/m/nsgguvms 

Κώστας Δόρτσιος

Πηγή: mathematica