Challenging Recreational Mathematics: Όγκος στερεού εκ περιστροφής

Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2024

Όγκος στερεού εκ περιστροφής

Πρόβλημα

Ο κύβος με κορυφές $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(1,1,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$ περιστρέφεται γύρω από την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $(0,0,0)$ και $(1,1,1)$. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που δημιουργείται.

Η λύση του Κώστα Δόρτσιου:

Πράγματι το θέμα αυτό έχει την ομορφιά του! Η περιστροφή του κύβου! Μια περιστροφή γύρω από ένα σταθερό άξονα, τη διαγώνιο του. Και φανταστείτε να ζητούσαμε ο άξονας αυτός να εκτελεί και μια δική του κίνηση...(Αστρονομία)

Το αποτέλεσμα φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

Αν προσέξουμε το σχήμα αυτό το οποίο αναρτώ και στη δυναμική του μορφή τότε θα διακρίνουμε ότι το σχήμα αυτό αποτελείται από:

1ο) Δυο κωνικές επιφάνειες (δυο κώνοι) που διαγράφουν αντίστοιχα κάθε φορά οι τρεις ακμές του κύβου που οι οποίες συντρέχουν στις κορυφές $A=(0,0,0)$ και G=(1,1,1)$ και

2) Από μια υπερβολοειδή επιφάνεια που διαγράφεται από τις υπόλοιπες έξι ακμές του κύβου αυτού.

Το δυναμικό σχήμα μπορείτε να το δείτε στο σύνδεσμο: geogebra.org/m/ueujnyxw

Παρατηρούμε ακόμα μερικά άλλα στοιχεία του προβλήματος αυτού.

Εργαζόμαστε στο πρώτο σχήμα που ακολουθεί:

Προβάλλοντας την ακμή $\displaystyle{AE}$ επί της διαγωνίου $\displaystyle{AG}$και σκεπτόμενοι το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{(AEG)}$ έχουμε:

$\displaystyle{(AE)^2=(AS)(AG) \Rightarrow (AS)=\frac{\sqrt{3}}{3} \ \ \ (1) }$

κι αυτό διότι:

$\displaystyle{(AE)=1}$ και $\displaystyle{(AG)=\sqrt{3} }$.

Από το ίδιο ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι:

$\displaystyle{ (ES)^2=(AS)(SG) \Rightarrow (ES)=\frac{\sqrt{6}}{3} \ \ \ (2) }$

Με τον ίδιο τρόπο δείχνεται ότι και οι κορυφές $\displaystyle{B,D}$ προβάλλονται στο ίδιο σημείο $\displaystyle{S}$ και απέχουν από το σημείο αυτό (και συνεπώς από τη διαγώνιο $\displaystyle{AG})$ απόσταση όσο και η κορυφή $\displaystyle{E}$. Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι οι ακμές $\displaystyle{ AE, AB, AD}$ ανήκουν στον ίδιο κώνο με κορυφή το σημείο $\displaystyle{A}$ και βάση τον περιγεγραμμένο κύκλο στο τρίγωνο $\displaystyle{(BED)}$, όπως δείχνει το ακόλουθο σχήμα:

Ο όγκος του κώνου αυτού είναι:

$\displaystyle{V_1=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\pi (SE)^2 (AS) }$

και λόγω των (1) και (2) θα είναι:

$ \displaystyle{V_1=\frac{2\sqrt{3}\pi}{27} \ \ \ (3) }$

Το ίδιο ισχύει και για τις κορυφές $\displaystyle{C,H, Z}$, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα:

Έτσι ο δεύτερος αυτός κώνος είναι ίσος με τον προηγούμενο και θα είναι:

$\displaystyle{V_2=\frac{2\sqrt{3}\pi}{27} \ \ \ (3) }.$

Έτσι οι δυο αυτοί κώνοι έχουν άθροισμα:

$ \displaystyle{V_{kon}=\frac{4\sqrt{3}\pi}{27} \ \ (4) }$

Στην περίπτωσή μας, ενδιαφέρει να βρούμε την εξίσωση της επιφάνειας την οποία θα διαγράψουν οι έξι ακμές του κύβου οι οποίες δεν συντρέχουν στις κορυφές $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{G}$ κατόπιν να την "κατασκευάσουμε" με λογισμικό και τέλος να βρούμε τον όγκο που αυτή σχηματίζει. Για απλούστευση θα θεωρήσουμε τον δοθέντα κύβο σε μια θέση ώστε η κορυφή $\displaystyle{A}$ να παραμένει στην ίδια θέση, αλλά η κορυφή $\displaystyle{G}$ να ανήκει στον άξονα $\displaystyle{x'Ox}$, όπως αυτό φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

Η θέση αυτή η οποία προέκυψε από την αρχικά δοθείσα με δυο κατάλληλες περιστροφές έχουν προκύψει οι ακόλουθες τιμές - συντεταγμένες των οκτώ κορυφών:

$A=(0,0,0), B=(\dfrac{\sqrt{3}}{3},0,\dfrac{\sqrt{6}}{3})$ ,

$C=( \dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{6}}{6}), D=( 2\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{6}}{6}) $

$E=(2\frac{\sqrt{3}}{3},0, -\dfrac{\sqrt{6}}{6}),Z=(\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{2}}{2}, -\dfrac{\sqrt{6}}{6})$ ,

$H=( 2\dfrac{\sqrt{3}}{3},\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{6}}{6}) , G=(\sqrt{3}, 0,0) $.

Οι έξι ακμές οι οποίες περιστρεφόμενες θα δημιουργήσουν την τρίτη επιφάνεια είναι οι ακόλουθες:

$\displaystyle{ (BD),(DC),(CE),(EZ),(ZH),(HB)}$

όπως αυτές φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

Τα άκρα των έξι αυτών ίσων μεταξύ των ακμών του κύβου κινούνται πάνω σε δυο κύκλους όπως αυτοί φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

Οι κύκλοι αυτοί έχουν κέντρα:

$\displaystyle{K=(\frac{\sqrt{3}}{3}, 0,0), L=(2\frac{\sqrt{3}}{3}, 0,0) }$.

(Ας θυμηθούμε τους δύο κώνους πιο πάνω).

Ύστερα από αυτά τα έξι αυτά τμήματα θα γράφουν την ίδια επιφάνεια καθώς θα περιστρέφονται γύρω από τον άξονα $\displaystyle{x'Ox}$.

Θα μελετήσουμε λοιπόν την επιφάνεια που σχηματίζει ένα από αυτά έστω το τμήμα $\displaystyle{BD}$.

(Συνέχεια...)

Θα βρούμε την εξίσωση της επιφάνειας που διαγράφει η ακμή $\displaystyle{BD}$ και κατά συνέπεια και οι υπόλοιπες $\displaystyle{(DC),(CE),(EZ),(ZH), (HB) }$ όπως αναφέρθηκε στην προηγουμένως.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

Η παραμετρική εξίσωση της ακμής $\displaystyle{(BD)}$ είναι:

Αν στις συντεταγμένες της εξίσωσης (1) εφαρμόσουμε τον πίνακα στροφής γύρω από τον άξονα των $\displaystyle{x'x}$ τότε καταλήγουμε στην εξίσωση της επιφάνειας που διαγράφει η ακμή αυτή.

Η εξίσωση αυτή προκύπτει ότι είναι η κατωτέρω:

Γιατί όμως η επιφάνεια αυτή είναι μια υπερβολοειδής;

Από την εξίσωση (2) εύκολα προκύπτει:

$\displaystyle{y^2+z^2=R^2, \ \ R=\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{u^2-u+1}, \ \ u=0..1 \ \ (3) }$

Η εξίσωση (3) δηλώνει ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{u}$ η επιφάνεια $\displaystyle{S}$ τέμνει το επίπεδο $\displaystyle{yOz}$ σε κύκλο ακτίνας $\displaystyle{R}$.

Αν τώρα θεωρήσουμε ότι $\displaystyle{y=0}$, τότε στο επίπεδο $\displaystyle{xOz}$ θα προκύψει η τομή της επιφάνειας $\displaystyle{S}$ με το επίπεδο αυτό.

Δηλαδή τότε θα έχουμε:

Από τις (4) και (5) απαλείφοντας την παράμετρο $\displaystyle{u}$ καταλήγουμε στην καρτεσιανή μορφή της τομής της επιφάνειας $\displaystyle{S}$ με το επίπεδο $\displaystyle{xOy}$.

Αυτή είναι: