Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο [14-19]

14. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{A{\alpha }^4}{\pi -A}}+{\displaystyle \frac{B{\beta }^4}{\pi -B}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }{\gamma }^4}{\pi -\mathrm{\Gamma }}}\ge 8E$$ 15. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{{\alpha }^4}{{\beta }^8({\gamma }^4+{\alpha }^4)}}+{\displaystyle \frac{{\beta }^4}{{\beta }^8({\alpha }^4+{\beta }^4)}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^4}{{\alpha }^8({\beta }^4+{\gamma }^4)}}\ge {\displaystyle \frac{1}{2R^2}}$$

 

16. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{{\alpha }^5}{2\alpha +\beta +\gamma }}+{\displaystyle \frac{(\alpha +\beta ){\beta }^4}{{\gamma }^4}}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^4}{{\alpha }^8({\beta }^4+{\gamma }^4)}}\ge 8E^2$$ 17. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{\kappa {\alpha }^2}{\lambda +\mu }}+{\displaystyle \frac{\lambda {\beta }^2}{\mu +\kappa }}+\frac{\mu {\gamma }^2}{\kappa +\lambda }\ge 2E\sqrt{4-{\displaystyle \frac{2\rho }{R}}}\ge 2E\sqrt{3}$$ 18. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $${\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{\kappa }}+{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{\lambda }}+{\displaystyle \frac{{\gamma }^2}{\mu }}\ge {\displaystyle \frac{(\alpha +\beta +\gamma {)}^2}{\kappa +\lambda +\mu }}$$ 19. Σε κάθε τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ να αποδειχθεί: $$\sum {\displaystyle \frac{\kappa {\alpha }^2(\beta +\gamma -\alpha {)}^2}{\lambda +\mu }}\ge 8E^2$$ Από το βιβλίο «Ισότητες και Ανισότητες στο Τρίγωνο», του Δ. Κοντογιάννη.

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση