Διαγνωστικό Τεστ Άλγεβρας για τον Λογισμό (Ian Stewart)

1. Υπολογίστε κάθε παράσταση χωρίς τη χρήση υπολογιστή:

(α) $(-3{)}^4$

(β) $-3^4$

(γ) $3^{-4}$

(δ) ${\displaystyle \frac{5^{23}}{5^{21}}}$

(ε) ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{-2}$

(στ) ${16}^{-3/4}$

2. Απλοποιήστε κάθε παράσταση. Γράψτε την απάντησή σας χωρίς αρνητικούς εκθέτες.

(α) $\sqrt{200}-\sqrt{32}$

(β) $(3a{b}^2)(4a{b}^2{)}^2$

(γ) ${\left({\displaystyle \frac{3x^{3/2}{y}^3}{x^2{y}^{-1/2}}}\right)}^{-2}$

3. Αναπτύξτε και απλοποιήστε:

(α) $3(x+6)+4(2x-5)$

(β) $(x+3)(4x-5)$

(γ) $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})$

(δ) $(2x+3{)}^2$ 

(ε) $(x+2{)}^3$

4. Παραγοντοποιήστε κάθε παράσταση:

(α) $4x^2-25$

(β) $2x^2+5x-12$

(γ) $x^3-3x^2-4x+12$

(δ) $x^4+27x$

(ε) $3x^{3/2}-9x^{1/2}+6x^{-1/2}$

(στ) $x^{3}y-4xy$ 

5. Απλοποιήστε την ρητή παράσταση:

(α) ${\displaystyle \frac{x^2+3x+2}{x^2-x-2}}$

(β) ${\displaystyle \frac{2x^2-x-1}{x^2-9}}\cdot {\displaystyle \frac{x+3}{2x+1}}$

(γ) ${\displaystyle \frac{x}{x^2-4}}-{\displaystyle \frac{x}{x+2}}$

(δ) ${\displaystyle \frac{1}{y}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$

6. Ρητοποιήστε την παράσταση και απλοποιήστε:

(α) ${\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}-2}}$

(β) ${\displaystyle \frac{\sqrt{4+h}-2}{h}}$

7. Γράψτε τις παραστάσεις με συμπλήρωση τετραγώνου:

(α) $x^2+x+1$

(β) $2x^2-12x+11$

8. Να λυθούν οι εξισώσεις. (Βρείτε μόνο τις πραγματικές λύσεις.)

(α) $x+5=14-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$

(β) ${\displaystyle \frac{2x}{x+1}}={\displaystyle \frac{2x-1}{x}}$

(γ) $x^4-3x^2+2=0$

(δ) $2x^2+4x+1=0$

(ε) $3|x-4|=10$

(στ) $2x(4-x{)}^{-1/2}-3\sqrt{4-x}=0$

9. Να λυθούν οι ανισότητες. Γράψτε την απάντησή σας χρησιμοποιώντας συμβολισμό διαστήματος.

(α) $-4<5-3x\le 17$

(β) $x^2<2x+8$

(γ) $x(x-1)(x+2)>0$

(δ) $|x-4|<3$

(ε) ${\displaystyle \frac{2x-3}{x+1}}\le 1$

10. Nα εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω εξισώσεις είναι αληθείς ή ψευδείς.

(α) $(p+q{)}^2=p^2+q^2$

(β) $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$

(γ) $\sqrt{a^2+b^2}=a+b$

(δ) ${\displaystyle \frac{1+TC}{C}}=1+T$

(ε) ${\displaystyle \frac{1}{x-y}}={\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}$

(στ) ${\displaystyle \frac{1/x}{a/x-b/x}}={\displaystyle \frac{1}{a-b}}$