Αρχιμήδεια Ιδιότητα

Το σύνολο των φυσικών αριθμών $N$ δεν είναι άνω φραγμένο.

Απόδειξη

Έστω ότι είναι. Εφόσον είναι μη κενό τότε θα έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα, το $b$. Το $b-1$ δεν θα είναι άνω φράγμα του $N$, επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του N, έστω $n_0$ τέτοιο ώστε $n_0>b-1$ ή αλλιώς $n_0+1>b$. 

Εφόσον όμως το $n_0\in N$ τότε και $n_0+1\in N$, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την αρχική υπόθεση.