Το σύνολο των φυσικών αριθμών $N$ δεν είναι άνω φραγμένο.
Απόδειξη
Έστω ότι είναι. Εφόσον είναι μη κενό τότε θα έχει ένα ελάχιστο άνω φράγμα, το $b$. Το $b − 1$ δεν θα είναι άνω φράγμα του $N$, επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του N, έστω $n_0$ τέτοιο ώστε $n_0 > b − 1$ ή αλλιώς $n_0 + 1 > b$.
Εφόσον όμως το $n_0 ∈ N$ τότε και $n_0 + 1 ∈ N$, το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την αρχική υπόθεση.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου