Mαγεία ή Μαθηματικά;

"Υπάρχουν 10 είδη ανθρώπων. Αυτοί που καταλαβαίνουν το δυαδικό σύστημα, κι αυτοί που δεν το καταλαβαίνουν" 

Prof. Mach Xor

Ο καθηγητής ${\rm X}$ δοκιμάζει τις ικανότητες των μαθητών του, Βαγγέλη και Γιάννη. Βάζει στο τραπέζι μια συνηθισμένη σκακιέρα $(8\times 8)$, και τους λέει: Ο Γιάννης θα πάει στο διπλανό δωμάτιο. Ο Βαγγέλης θα μείνει εδώ μαζί μου. Θα βάλω σε κάποια τετραγωνάκια (όσα και όποια θέλω) από ένα νταμάκι. Μετά θα επιλέξω ένα τετραγωνάκι (όποιο θέλω! Mε νταμάκι ή αδειανό) και θα το δείξω στον Βαγγέλη.

O Βαγγέλης θα αλλάξει την κατάσταση σε ένα και μόνο τετραγωνάκι , δηλαδή μπορεί να προσθέσει ένα νταμάκι σε κάποιο άδειο τετράγωνο, ή να αφαιρέσει ένα νταμάκι από κάποιο γεμάτο. Μετά ,θα έρθει στο δωμάτιο ο Γιάννης και πρέπει να βρει το τετράγωνο που επέλεξα!  Έχετε το δικαίωμα να συναποφασίσετε μια στρατηγική, αλλά εννοείται πως μόλις αρχίσει το τεστ,καμία άλλη συνεννόηση μεταξύ σας δεν επιτρέπεται! Ο Βαγγέλης αφαιρεί ή προσθέτει ένα νταμάκι ,και ο Γιάννης έρχεται μέσα και πρέπει να βρει το τετράγωνο που διάλεξα. Αν τα καταφέρετε ,θα περάσετε το μάθημά μου με "Άριστα".

Τι λέτε; Υπάρχει τρόπος να τα καταφέρουν ο ${\rm B}$ και ο $\Gamma$ ,και να περάσουν με άριστα το μάθημα του ${\rm X}$; ή μόνο "μάγοι" μπορούν να τα καταφέρουν;