Σε κάθε τετράγωνο μιας σκακιέρας $2007x2007$ τοποθετούμε έναν από τους αριθμούς $1$ ή $- 1$. Συμβολίζουμε με $Α_i$ το γινόμενο των αριθμών της $i$ - γραμμής, $i=1,2, ..., 2007$, και με $Β_j$ το γινόμενο των αριθμών της $j$ - στήλης, $j=1,2, ..., 2007$. Να αποδείξετε ότι:
$Α_1+Α_2+....+Α_{2007}+Β_1+Β_2+....+Β_{2007}\neq{0}$.
24η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα " Ο Αρχιμήδης" 2007
Σωκράτη, μήπως η εκφώνηση είναι "..με $Bj$ το γινόμενο των αριθμών της $j$ ΣΤΗΛΗΣ,.." κι όχι "γραμμής"; (έτσι φαίνεται τουλάχιστον,εκτός αν μού ξεφεύγει κάτι)
ΑπάντησηΔιαγραφήΓιώργο, το διόρθωσα. Που να σου ξεφύγει ... :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήΕντάξει Σωκράτη, ήταν προφανής τυπογραφική παραδρομή , άλλωστε θα ήταν πραγματικά παράξενο στο ίδιο μαθηματικό θέμα να βαφτίσουμε με 2 διαφορετικά ονόματα την ίδια οντότητα. :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήTo κάπως ειρωνικό βέβαια στην παραπάνω πρότασή μου είναι πως σε ακριβώς αυτή την .."διγλωσσία" (κατά μία έννοια..)βασίζεται αυτή η -πολύ έξυπνη,κατά τη γνώμη μου- άσκηση!
Εξηγούμαι:
To ζητούμενο μπορεί πολύ απλά να δειχτεί με απαγωγή σε Ρωμανίδη ,δηλαδή απαγωγή eisatopon.
Έστω πως
$A_{1} + A_{2} + A_{3}+ \cdots A_{2007} + B_{1} + \cdots + B_{2007}=0 $
Aυτό σημαίνει πώς όσοι είναι οι άσσοι τόσοι είναι και οι "μείον άσσοι" , άρα τα $-1$ είναι πληθαρίθμου $2007$
Το $ A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{2007} $ είναι το γινόμενο όλων των αριθμών στη σκακιέρα . Το ίδιο όμως (το γινόμενο όλων των αριθμών) είναι και το
B_{1} \times B_{2} \times \cdots \times B_{2007}
Άρα , είτε $+1$ είτε $-1$ είναι αυτό ,το τετράγωνό του, δηλαδή το: $A_{1} \times \cdots \times A_{2007} \times B_{1} \cdots \times B_{2007}=1 $
Aλλά περιττό γινόμενο ($2007$) από $-1$ κάνει $-1$ . Άτοπο. Q.E.D.
Πολύ ωραία λύση Γιώργο! Παραθέτω και μια άλλη προσέγγιση, επίσης eisatopon:
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια να καταλήγει σε 0 το άθροισμα θα έπρεπε ακριβώς 2007 όροι του να είναι ίσοι με +1 και άλλοι τόσοι ίσοι με -1. Έστω ότι έχουμε κ γραμμές και 2007-κ στήλες με γινόμενο -1, και κατ' ακολουθία 2007-κ γραμμές και κ στήλες με γινόμενο +1.
Αν εκφράσουμε το συνολικό αριθμό των τετραγώνων -1 είτε με βάση τα γινόμενα των γραμμών είτε με βάση τα γινόμενα των στηλών αυτά θα έπρεπε να είναι ίσα, δηλαδή:
κ*περιττός+(2007-κ)*άρτιος = κ*άρτιος+(2007-κ)*περιττός
Αλλά για οποιοδήποτε κ, το ένα μέλος της ισότητας είναι άρτιος και το άλλο περιττός, επομένως δεν μπορεί να υπάρχει ισότητα, ούτε άθροισμα 0.
Διόρθωση, για την κυριολεξία:
ΑπάντησηΔιαγραφήΆθροισμα κ περιττών και 2007-κ αρτίων = άθροισμα κ αρτίων και 2007-κ περιττών.