Πέμπτη 13 Φεβρουαρίου 2014

$2007x2007$

Σε κάθε τετράγωνο μιας σκακιέρας $2007x2007$ τοποθετούμε έναν από τους αριθμούς $1$ ή $- 1$. Συμβολίζουμε με $Α_i$ το γινόμενο των αριθμών της $i$ - γραμμής, $i=1,2, ..., 2007$, και με  $Β_j$ το γινόμενο των αριθμών της $j$ - στήλης, $j=1,2, ..., 2007$. Να αποδείξετε ότι:
$Α_1+Α_2+....+Α_{2007}+Β_1+Β_2+....+Β_{2007}\neq{0}$.
24η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα " Ο Αρχιμήδης" 2007

5 σχόλια:

  1. Σωκράτη, μήπως η εκφώνηση είναι "..με $Bj$ το γινόμενο των αριθμών της $j$ ΣΤΗΛΗΣ,.." κι όχι "γραμμής"; (έτσι φαίνεται τουλάχιστον,εκτός αν μού ξεφεύγει κάτι)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Εντάξει Σωκράτη, ήταν προφανής τυπογραφική παραδρομή , άλλωστε θα ήταν πραγματικά παράξενο στο ίδιο μαθηματικό θέμα να βαφτίσουμε με 2 διαφορετικά ονόματα την ίδια οντότητα. :-)
    To κάπως ειρωνικό βέβαια στην παραπάνω πρότασή μου είναι πως σε ακριβώς αυτή την .."διγλωσσία" (κατά μία έννοια..)βασίζεται αυτή η -πολύ έξυπνη,κατά τη γνώμη μου- άσκηση!
    Εξηγούμαι:
    To ζητούμενο μπορεί πολύ απλά να δειχτεί με απαγωγή σε Ρωμανίδη ,δηλαδή απαγωγή eisatopon.
    Έστω πως
    $A_{1} + A_{2} + A_{3}+ \cdots A_{2007} + B_{1} + \cdots + B_{2007}=0 $
    Aυτό σημαίνει πώς όσοι είναι οι άσσοι τόσοι είναι και οι "μείον άσσοι" , άρα τα $-1$ είναι πληθαρίθμου $2007$
    Το $ A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{2007} $ είναι το γινόμενο όλων των αριθμών στη σκακιέρα . Το ίδιο όμως (το γινόμενο όλων των αριθμών) είναι και το
    B_{1} \times B_{2} \times \cdots \times B_{2007}
    Άρα , είτε $+1$ είτε $-1$ είναι αυτό ,το τετράγωνό του, δηλαδή το: $A_{1} \times \cdots \times A_{2007} \times B_{1} \cdots \times B_{2007}=1 $
    Aλλά περιττό γινόμενο ($2007$) από $-1$ κάνει $-1$ . Άτοπο. Q.E.D.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Πολύ ωραία λύση Γιώργο! Παραθέτω και μια άλλη προσέγγιση, επίσης eisatopon:
    Για να καταλήγει σε 0 το άθροισμα θα έπρεπε ακριβώς 2007 όροι του να είναι ίσοι με +1 και άλλοι τόσοι ίσοι με -1. Έστω ότι έχουμε κ γραμμές και 2007-κ στήλες με γινόμενο -1, και κατ' ακολουθία 2007-κ γραμμές και κ στήλες με γινόμενο +1.
    Αν εκφράσουμε το συνολικό αριθμό των τετραγώνων -1 είτε με βάση τα γινόμενα των γραμμών είτε με βάση τα γινόμενα των στηλών αυτά θα έπρεπε να είναι ίσα, δηλαδή:
    κ*περιττός+(2007-κ)*άρτιος = κ*άρτιος+(2007-κ)*περιττός
    Αλλά για οποιοδήποτε κ, το ένα μέλος της ισότητας είναι άρτιος και το άλλο περιττός, επομένως δεν μπορεί να υπάρχει ισότητα, ούτε άθροισμα 0.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Διόρθωση, για την κυριολεξία:
    Άθροισμα κ περιττών και 2007-κ αρτίων = άθροισμα κ αρτίων και 2007-κ περιττών.

    ΑπάντησηΔιαγραφή