2007x2007

Σε κάθε τετράγωνο μιας σκακιέρας $2007x2007$ τοποθετούμε έναν από τους αριθμούς $1$ ή $-1$. Συμβολίζουμε με ${{\rm A}}_i$ το γινόμενο των αριθμών της $i$ - γραμμής, $i=1,2,...,2007$, και με  ${{\rm B}}_j$ το γινόμενο των αριθμών της $j$ - στήλης, $j=1,2,...,2007$. Να αποδείξετε ότι:

${{\rm A}}_1+{{\rm A}}_2+....+{{\rm A}}_{2007}+{{\rm B}}_1+{{\rm B}}_2+....+{{\rm B}}_{2007}\ne 0$.

24η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα " Ο Αρχιμήδης" 2007