Σε ημικύκλιο διαμέτρου $AB$ θεωρούμε σταθερό σημείο $S$. Μεταβλητό σημείο $M$ κινείται πάνω στη διάμετρο $AB$, εις τρόπον ώστε ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $SMB$ να τέμνει την προέκταση του $AS$, (προς το $S$), στο σημείο $T$.
Να δειχθεί ότι ο λόγος $\dfrac{{(TSMB)}}{{(SAM)}}$ είναι σταθερός.
Έστω $T', S'$ οι προβολές των $T, S$ στην $AB$
ΑπάντησηΔιαγραφή$\frac{ATB}{ASM}= \frac{AB \times TT'}{AM \times SS'}$
Όμως $\frac{TT'}{SS'}= \frac{AT}{AS}$ => $\frac{ATB}{ASM}= \frac{AB \times AT}{AM \times AS}$
επίσης $AS \times AT=AB \times AM \Rightarrow AT= \frac{AB \times AM}{AS}$ =>
$\frac{ATB}{ASM}= \frac{AB}{AM} \times \frac{ \frac{AB \times AM}{AS} }{AS}= \frac{ AB^{2} }{ AS^{2} }$
Συνεπώς ο λόγος (ATB)/(ASM) είναι σταθερός
και από αυτό έπεται και το ζητούμενο.
Ευχαριστώ κ. Ευθύμη . πολύ ωραία.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ άσκηση λύνεται και χωρίς βοηθητικές γραμμές. Πάντως το σχετικό θεώρημα ουσιαστικά αποδείχτηκε !! πάνω στην άσκηση .
Νίκος