Δευτέρα 28 Ιουλίου 2014

Πιο κοντινός στο 1000

Να βρεθεί ο πιο κοντινός στο $1000$ ακέραιος, που διαιρείται ακριβώς με το $13$ ενώ αν του προσθέσουμε $5$ διαιρείται ακριβώς με $17$.
Αναρτήθηκε από στις 28.7.14
Ετικέτες ,

5 σχόλια:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS28 Ιουλίου 2014 στις 12:55 μ.μ.

    Σύστημα modulo εξισώσεων:
    x ≡ 0 mod 13
    x ≡ 12 mod 17
    Θεώρημα Κινέζικου Υπολείπου----> x=624
    (624/13=48. 629/17=37)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. RIZOPOULOS GEORGIOS28 Ιουλίου 2014 στις 1:07 μ.μ.

    Παρντόν. Τώρα πρόσεξα πως δεν ζητείται ο ελάχιστος αριθμός (που είναι το 624) αλλά ο κοντινότερος στο 1000.
    624+(2*221)=1066 ο κοντινότερος.
    (1066/13=82. 1071/17=63)
    Το 221 είναι =13*17 (το κοινό modulo, εφόσον 13 και 17 μεταξύ τους πρώτοι).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ28 Ιουλίου 2014 στις 3:51 μ.μ.

    Καλησπέρα!

    $A=13X=17Y+12 \Rightarrow 13X-17Y=12$
    Mία λύση της γραμμικής διαφαντικής εξίσωσης είναι:
    $13 \times 14-17 \times 10=12 \Rightarrow$
    $ \Rightarrow X=14-17k \ \ kai \ \ Y=10-13k$
    Άρα $(14-17k) \times 13 \geq 1000 \Rightarrow $
    $ \Rightarrow k \leq -\frac{818}{221} \Rightarrow k=-4 $
    Άρα $A=13X=13 \times (14-17 \times (-4))=1066$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ28 Ιουλίου 2014 στις 4:01 μ.μ.

    Υ.Γ Ο πλησιέστερος στο 1000 από κάτω είναι:
    $A=(14-17 \times (-3)) \times 13=845$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Doloros29 Ιουλίου 2014 στις 1:00 π.μ.

    Πολύ ωραίες οι απαντήσεις! . Ευχαριστώ

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)