Μαθηματικά και Λογική: 14 Ασκήσεις Επαγωγής

1. Nα αποδειχθεί ότι: $$1+2+3+\cdots +n=\frac{n}{2}+\frac{n^2}{2},$$ για κάθε θετικό ακέραιο $n$. 

2. Nα αποδειχθεί ότι: $$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$ για κάθε θετικό ακέραιο $n$. 

3. Nα αποδειχθεί ότι: $$1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4},$$ για κάθε θετικό ακέραιο $n$. 

4. Αν $n\in \mathbb{N}$, να αποδειχθεί ότι: $$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}.$$ 5. Αν $n\in \mathbb{N}$, να αποδειχθεί ότι: $$2^1+2^2+2^3+\cdots +2^n=2^{n+1}-2.$$ 6. Nα αποδειχθεί ότι: $$\sum _{i=1}^n(8i-5)=4n^2-n,$$ για κάθε θετικό ακέραιο $n$. 

7. Αν $n\in \mathbb{N}$, να αποδειχθεί ότι:$$1\cdot 3+2\cdot 4+3\cdot 5+\cdots +n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}.$$ 8. Αν $n\in \mathbb{N}$, να αποδειχθεί ότι: $$\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots +\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}.$$ 9. Nα αποδειχθεί ότι: $$24\mid (5^{2n}-1),$$ για κάθε ακέραιο $n\ge 0$. 10. Nα αποδειχθεί ότι: $$3\mid (5^{2n}-1),$$ για κάθε ακέραιο $n\ge 0$. 11. Nα αποδειχθεί ότι: $$3\mid (n^3+5n+6),$$ για κάθε ακέραιο $n\ge 0$. 12. Nα αποδειχθεί ότι: $$9\mid (4^{3n}+8),$$ για κάθε ακέραιο $n\ge 0$. 13. Nα αποδειχθεί ότι: $$6\mid (n^3-n),$$ για κάθε ακέραιο $n\ge 0$. 14. Έστω $a\in \mathbb{Z}$. Nα αποδειχθεί ότι: $$5\mid 2^{n}a⟹5\mid a,$$ για κάθε $n\in \mathbb{N}$.