Οι Πρώτοι του Μερσέν: Ιδιότητες και Σημασία στη Θεωρία Αριθμών

Οι $\mathbf{\text{πρώτοι του Μερσέν}}$ είναι μια κατηγορία πρώτων αριθμών που έχουν τη μορφή: $$M_p=2^p-1$$ όπου $p$ είναι επίσης πρώτος αριθμός.

Αυτοί οι αριθμοί ονομάστηκαν προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού $\mathbf{\text{Marin Mersenne}}$, ο οποίος τους μελέτησε τον 17ο αιώνα. 

Μερικοί από τους γνωστούς πρώτους του Μερσέν είναι: $$\begin{array}{rl}{M}_2& =2^2-1=3\\ M_3& =2^3-1=7\\ M_5& =2^5-1=31\\ M_7& =2^7-1=127\\ M_{13}& =2^{13}-1=8191\\ M_{17}& =2^{17}-1=131071\\ M_{19}& =2^{19}-1=524287\\ M_{31}& =2^{31}-1=2147483647\end{array}$$ Αυτοί οι αριθμοί είναι σημαντικοί όχι μόνο στη θεωρία αριθμών, αλλά και στην κρυπτογραφία και σε άλλες εφαρμογές της πληροφορικής. Υπάρχουν ειδικά προγράμματα, όπως το $\mathbf{\text{GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search)}}$, που αφοσιώνονται στην αναζήτηση νέων πρώτων του Μερσέν.

Σημαντική σημείωση

Δεν είναι όλοι οι αριθμοί της μορφής $2^p-1$ πρώτοι, ακόμη κι αν το $p$ είναι πρώτος αριθμός. 

Για παράδειγμα: $$2^{11}-1=2047$$ δεν είναι πρώτος, καθώς ισούται με: $2047=23\times 89.$