Ky Fan: Μια Ανισότητα που Αξίζει να Γνωρίζετε

O Ky Fan (1914-2010), ήταν καθηγητής για πολλά χρόνια στο πανεπιστήμιο Santa Barbara της Καλιφόρνιας των ΗΠΑ. Η ανισότητα αυτή, για πρώτη φορά, εμφανίστηκε το $1961$ στο βιβλίο των Beckenbach E.F, Bellman R. "Inequalities" Berlin, Springer 1961 και διατυπώνεται ως εξής:

Έστω $a_1,a_2,...,a_n$ $(n\ge 2)$ θετικοί αριθμοί του διαστήματος $[0,{\displaystyle \frac{1}{2}}]$.

Θεωρούμε το μέσο αριθμητικό 

$A_n={\displaystyle \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}}$ 

και τον μέσο γεωμετρικό 

$G_n=(a_1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n{)}^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}$ 

των αριθμών αυτών. 

Επίσης θεωρούμε τους ανάλογους μέσους: 

$A_n^{\prime }={\displaystyle \frac{(1-a_1)+(1-a_2)+...+(1-a_n)}{n}}$ 

και 

$G_n^{\prime }=((1-a_1)\cdot (1-a_2)\cdot ...\cdot (1-a_n){)}^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}$ 

των αριθμών 

$1-a_1,1-a_2,...,1-a_n$. 

Η ανισότητα Ky Fan για τους αριθμούς $a_1,a_2,...,a_n$ είναι η ανισότητα: $${\displaystyle \frac{G_n}{G_n^{\prime }}}\le {\displaystyle \frac{A_n}{A_n^{\prime }}}$$ στην οποία η ισότητα ισχύει, αν και μόνο αν

 $a_1=a_2=...=a_n$.