Η Ομορφιά της Κυρτότητας: Ανισότητα Hermite-Hadamard

Ανισότητα Hermite-Hadamard

Αν η συνάρτηση $f:[a,b]\to \mathbb{R}$.είναι κυρτή, τότε ισχύει:

$$f\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)\le {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f(x)dx\le {\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}}$$

Η παραπάνω ανισότητα εκφράζει ότι η τιμή της $f$ στο μέσο του διαστήματος $[a,b]$ δεν υπερβαίνει τη μέση τιμή της στο ίδιο διάστημα, η οποία, με τη σειρά της, δεν ξεπερνά τον αριθμητικό μέσο των τιμών της στα άκρα του διαστήματος.