Η Δυναμική της Συμμετρίας στην Ανισότητα του Schur

Η Ανισότητα του Schur

Η ανισότητα του Schur δηλώνει ότι για όλους τους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς $x$, $y$, $z$, και για $t>0$, ισχύει: $$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-z)(y-x)+z^t(z-x)(z-y)\ge 0$$ με ισότητα, αν και μόνο αν $x=y=z$ ή αν δύο από αυτά είναι ίσα και το άλλο μηδέν. Όταν $t=1$, παίρνουμε την ειδική περίπτωση: $$x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)$$

 

Απόδειξη

Εφόσον η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς $x$, $y$, $z$, μπορούμε να υποθέσουμε, χωρίς απώλεια γενικότητας, ότι $x\ge y\ge z$. Τότε, η ανισότητα: $$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(x-z)(y-z)\ge 0$$ ισχύει, καθώς κάθε όρος στην αριστερή πλευρά της ανισότητας είναι μη αρνητικός. Αυτό οδηγεί στην αρχική ανισότητα του Schur.