Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Μπορείς να το λύσεις αυτό; [104]

Έστω η πραγματική συνάρτηση $f$ με τις παρακάτω ιδιότητες:

• Η $f$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο διάστημα $[0,1]$
• $f(0)=f(1)=0$.
  

α) Αν $f(x)\ne 0$ για $0\le x\le 1$, να αποδειχθεί ότι ο λόγος ${\displaystyle \frac{f^{\prime }}{f}}$ παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές, όταν $x\in (0,1)$.

β) Αν $|f^{\prime }(x)|\le 1$ για κάθε $x\in [0,1]$, να αποδειχθεί ότι:$${\int }_0^{1}x|f(x)|dx\le {\displaystyle \frac{1}{8}}.$$

Επιπλέον, να διερευνηθεί αν μπορεί να ισχύει ισότητα.