Ο αριθμός 5 σε ταυτότητες του Ramanujan

Η τετραγωνική ρίζα του $5$ εμφανίζεται σε διάφορες ταυτότητες Ramanujan, οι οποίες εμπλέκονται με συνεχή κλάσματα. 

Για παράδειγμα:

${\displaystyle \frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi }}{1+\frac{e^{-4\pi }}{1+\frac{e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}=(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}-\frac{\sqrt{5}+1}{2})e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}(\sqrt{\phi \sqrt{5}}-\phi ).}$ 

${\displaystyle \frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-4\pi \sqrt{5}}}{1+\frac{e^{-6\pi \sqrt{5}}}{1+\ddots }}}}=(\frac{\sqrt{5}}{1+{[5^{3/4}(\phi -1{)}^{5/2}-1]}^{1/5}}-\phi )e^{2\pi /\sqrt{5}}.}$

${\displaystyle 4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x{e}^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}dx=\frac{1}{1+\frac{1^2}{1+\frac{1^2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{3^2}{1+\frac{3^2}{1+\ddots }}}}}}}.}$