Εικασία του Μπιλ (Beal's Conjecture)

Στα μέσα της δεκαετίας του $1990$, ο Τεξανός τραπεζίτης Άντριου Μπιλ πρότεινε ένα μαθηματικό πρόβλημα, γνωστό ως "Beal's Conjecture", και προσέφερε χρηματική αμοιβή για την επίλυσή του.

Το πρόβλημα αφορά την εξίσωση $A^x+B^y=C^z$, όπου τα ${\rm A},{\rm B},C$ είναι ακέραιοι αριθμοί και οι εκθέτες $x,y,z$ είναι μεγαλύτεροι από το $2$. Σημειώνεται ότι ειδική περίπτωση αυτής της εξίσωσης αποτελεί το Θεώρημα του Φερμά.

Ο Μπιλ παρατήρησε ότι για κάθε λύση της συγκεκριμένης εξίσωσης που μπορούσε να εντοπίσει, οι αριθμοί $A,B$ και $C$ είχαν έναν κοινό παράγοντα. Ένα παράδειγμα είναι η εξίσωση $3^6+{18}^3=3^8$, όπου οι αριθμοί $3,18$ και $3$ έχουν κοινό παράγοντα το $3$. Ο Μπιλ χρησιμοποίησε υπολογιστές στην τράπεζά του για να ελέγξει εξισώσεις με εκθέτες έως και $100$, αλλά δεν βρήκε καμία λύση που να μην περιλαμβάνει κοινό παράγοντα.

Από τότε, το πρόβλημα παραμένει άλυτο, και η ανταμοιβή για την επίλυσή του έχει αυξηθεί σημαντικά, φτάνοντας πλέον τα $1.000.000$ δολάρια. Αν θέλεις, μπορώ να σου πω περισσότερα για την εικασία αυτή ή για τη μαθηματική της σημασία!