Πρώτο και δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ

- Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ δηλώνει ότι:

Οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και συνεπής και πλήρης. Συγκεκριμένα, για κάθε συνεπή, αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής, αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία (Kleene 1967, p. 250).

- Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Για κάθε αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία Θ που συμπεριλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και επίσης συγκεκριμένες αλήθειες για την δυνατότητα τυπικής απόδειξης, η Θ συμπεριλαμβάνει δήλωση περί της ιδίας συνέπειας αν και μόνο αν η Θ είναι ασυνεπής.