Κατασκευή τέταρτης αναλόγου

Αν δοθούν τρία ευθύγραμμα τμήματα $\alpha ,\beta$ και $\gamma$, να κατασκευασθεί το τμήμα x, που ορίζεται από την αναλογία

${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}={\displaystyle \frac{\gamma }{x}}$.

Λύση

Έστω μια γωνία $zÔy$. Πάνω στη μία πλευρά της Οz παίρνουμε διαδοχικά τα τμήματα ${\rm O}{\rm A}=\alpha ,{\rm A}{\rm B}=\beta$ και πάνω στην $Oy$ το τμήμα ${\rm O}\Gamma =y$.

Από το ${\rm B}$ φέρουμε την παράλληλη προς την ${\rm A}\Gamma$, που τέμνει την $Oy$ στο $\Delta$. Τότε $\Gamma \Delta =x$ γιατί

${\displaystyle \frac{{\rm O}{\rm A}}{{\rm A}{\rm B}}}={\displaystyle \frac{{\rm O}\Gamma }{\Gamma \Delta }}$

ή

${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}={\displaystyle \frac{\gamma }{x}}$.

Είναι φανερό ότι με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζεται το τμήμα $x$ αν

${\displaystyle \frac{x}{\alpha }}={\displaystyle \frac{\beta }{\gamma }}$ ή ${\displaystyle \frac{\alpha }{x}}={\displaystyle \frac{\beta }{\gamma }}$ ή ${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}={\displaystyle \frac{x}{\gamma }}$, αρκεί κάθε φορά να γράφουμε το $x$ ως τέταρτο όρο της αναλογίας.

Από σχολικό βιβλίο Γεωμετρίας.