Η Μέθοδος του Picard για την Επίλυση Εξισώσεων

Η επίλυση της εξίσωσης:

$f(x)=0$

είναι ισοδύναμη με την εύρεση λύσης της εξίσωσης:

$g(x)=f(x)+x=x$,

η οποία προκύπτει αν προσθέσουμε το xx κατά μέλη στην αρχική εξίσωση. Με αυτή τη διαδικασία, φέρνουμε την εξίσωση σε μια μορφή κατάλληλη για επίλυση με υπολογιστή, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Picard.

Η Ιδέα της Μεθόδου

Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης gg περιέχει το πεδίο τιμών της, τότε μπορούμε να ξεκινήσουμε από ένα αρχικό σημείο x0x_0 και να εφαρμόσουμε επαναληπτικά τη συνάρτηση gg, παράγοντας τη διαδοχική ακολουθία:

$x_1=g(x_0),x_2=g(x_1),x_3=g(x_2),\dots$

Υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις, που θα περιγράψουμε παρακάτω, η ακολουθία που παράγεται από τον αναδρομικό τύπο:

$x_{n+1}=g(x_n)$

θα συγκλίνει σε ένα σημείο xx, για το οποίο ισχύει g(x)=xg(x) = x. Το σημείο αυτό αποτελεί λύση της εξίσωσης $f(x)=0$, αφού:

$f(x)=g(x)-x=x-x=0$.

Το Σταθερό Σημείο

Το σημείο $x$ που ικανοποιεί τη σχέση $g(x)=x$ ονομάζεται σταθερό σημείο της συνάρτησης $g$. Όπως προκύπτει από την παραπάνω ανάλυση, τα σταθερά σημεία της $g$ δεν είναι τίποτε άλλο παρά οι ρίζες της $f$.

Η μέθοδος του Picard αποτελεί ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο για την επίλυση εξισώσεων, ειδικά όταν εφαρμόζεται σε αριθμητικούς υπολογισμούς ή υπολογιστικά προγράμματα.