Η Γεωμετρία της Μπάλας Ποδοσφαίρου: Πώς Ο Euler Αποκαλύπτει τον Αριθμό των Πενταγώνων

Πόσο καλά ξέρετε την μπάλα που παίζετε;

Η επιφάνεια μιας τυπικής μπάλας ποδοσφαίρου αποτελεί ένα θαύμα γεωμετρίας, καλυμμένη από ακριβώς $20$ εξάγωνα και $12$ πεντάγωνα. 

Πόσο περίεργο ακούγεται αυτό; Αλλά γιατί ακριβώς $12$ πεντάγωνα;

Αυτό συνδέεται με την χαρακτηριστική του Euler για σφαιρικά σχήματα, η οποία δηλώνει ότι: $$V-E+F=2$$ όπου: 

• $V$ είναι ο αριθμός των κορυφών
• $E$ είναι ο αριθμός των ακμών
• $F$ είναι ο αριθμός των εδρών  

Για να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τα $V$, $E$ και $F$. 

Έστω ότι: $P$ είναι ο αριθμός των πενταγώνων, $H$ είναι ο αριθμός των εξαγώνων. 

Από τα δεδομένα της μπάλα ποδοσφαίρου γνωρίζουμε ότι: $$F=P+H$$ Το $V$ (ο αριθμός των κορυφών) υπολογίζεται από το γεγονός ότι κάθε κορυφή ανήκει σε 3 όψεις: $$V=\frac{5P+6H}{3}$$ Το $E$ (ο αριθμός των ακμών) υπολογίζεται από το γεγονός ότι κάθε ακμή ανήκει σε $2$ όψεις: $$E=\frac{5P+6H}{2}$$

Τώρα, εφαρμόζουμε τη χαρακτηριστική του Euler: $$V-E+F=2$$ 

 Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις για $V$, $E$ και $F$ και έχουμε: 

${\displaystyle \frac{5P+6H}{3}}-{\displaystyle \frac{5P+6H}{2}}+P+H=2$

.........

$-5P-6H+6P+6H=12$

$P=12$

Άρα, καταλήγουμε στο ότι ο αριθμός των πενταγώνων $P$ πρέπει να είναι $12$ για να ικανοποιείται η χαρακτηριστική του Euler για την μπάλα ποδοσφαίρου!