Translate Whole Page to Read and Solve

Παρασκευή 7 Μαρτίου 2025

Η Γεωμετρία της Μπάλας Ποδοσφαίρου: Πώς Ο Euler Αποκαλύπτει τον Αριθμό των Πενταγώνων

Πόσο καλά ξέρετε την μπάλα που παίζετε;
Η επιφάνεια μιας τυπικής μπάλας ποδοσφαίρου αποτελεί ένα θαύμα γεωμετρίας, καλυμμένη από ακριβώς 20 εξάγωνα και 12 πεντάγωνα. 
Πόσο περίεργο ακούγεται αυτό; Αλλά γιατί ακριβώς 12 πεντάγωνα;
Αυτό συνδέεται με την χαρακτηριστική του Euler για σφαιρικά σχήματα, η οποία δηλώνει ότι: VE+F=2 όπου: 
  • V είναι ο αριθμός των κορυφών
  • E είναι ο αριθμός των ακμών
  • F είναι ο αριθμός των εδρών  
Για να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τύπο, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τα V, E και F
Έστω ότι: P είναι ο αριθμός των πενταγώνων, H είναι ο αριθμός των εξαγώνων. 
Από τα δεδομένα της μπάλα ποδοσφαίρου γνωρίζουμε ότι: F=P+H Το V (ο αριθμός των κορυφών) υπολογίζεται από το γεγονός ότι κάθε κορυφή ανήκει σε 3 όψεις: V=5P+6H3 Το E (ο αριθμός των ακμών) υπολογίζεται από το γεγονός ότι κάθε ακμή ανήκει σε 2 όψεις: E=5P+6H2
Τώρα, εφαρμόζουμε τη χαρακτηριστική του Euler: VE+F=2 
 Αντικαθιστούμε τις εκφράσεις για V, E και F και έχουμε: 
5P+6H35P+6H2+P+H=2
.........
5P6H+6P+6H=12
P=12
Άρα, καταλήγουμε στο ότι ο αριθμός των πενταγώνων P πρέπει να είναι 12 για να ικανοποιείται η χαρακτηριστική του Euler για την μπάλα ποδοσφαίρου!