Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [6]

 Του Θανάση Κοπάδη  

Δίνονται οι συναρτήσεις $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ και $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν: 

• $f(x)={\displaystyle \frac{\alpha +\ln x}{x}}$,$\alpha \in \mathbb{R}$ 
• $g(x)=e^x$ 
• ${\int }_0^1(f\circ g)(x)dx={\displaystyle \frac{2e-3}{e}}$ 

α) Να δείξετε ότι $\alpha =1$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. 

δ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_f$. 

ε) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της $C_f$ στο σημείο $A({\displaystyle \frac{1}{e}},0)$ και στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων την $C_f$ και την εφαπτομένη αυτή. 

στ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 

$I={\int }_1^e|f(x)-e^{2}x+e|dx$. 

ζ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$1+\ln x={\displaystyle \frac{g(\ln x)}{2}}$ 

έχει δύο ακριβώς λύσεις οι οποίες βρίσκονται στο διάστημα $({\displaystyle \frac{1}{e}},+\mathrm{\infty })$. 

η) Αν $x_1,x_2$, με $x_1<x_2$, είναι οι λύσεις της εξίσωσης του προηγούμενου ερωτήματος και $E$ το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_f$ και την ευθεία $y={\displaystyle \frac{1}{2}}$, τότε να αποδείξετε ότι 

$(x_2-x_1)(x_1+x_2-4)=8\cdot E$. 

θ) Να βρείτε το όριο 

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{5g(x)+3\cdot 2^x}{2g(x+1)-2^{x+2}}}$.