Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά Θέματα από το digitalschool.gov [1]

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει: 

• $f(e)=1$
• $x^2{f}^{\prime }(x)+xf(x)-1=x$, για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 

i) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}+1$, $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

ii) Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$. 

iv) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x^{\prime }x$ σε ένα ακριβώς σημείο. 

v) Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. 

vi) Να κατασκευάσετε πίνακα μεταβολών της $f$ και να χαράξετε τη γραφική της παράσταση 

vii) Να βρείτε το πλήθος λύσεων της εξίσωσης 

$\ln x+x-\alpha x=0$ 

για τις διάφορες τιμές του $\alpha \in \mathbb{R}$. 

viii) α) Να δείξετε ότι η $f$ εφάπτεται στη διχοτόμο της γωνίας $xOy$ και να βρείτε το σημείο επαφής 

β) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη $C_f$, τον άξονα $x^{\prime }x$ και τις ευθείες $y=x$ και $x=e$.