Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [13]

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,\pi ]\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:  

• $(1+\eta \mu x{)}^2{f}^{\prime }(x)=\sigma \upsilon \nu x$, για κάθε $x\in [0,\pi ]$ 
• $f(0)=0$ 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{1+\eta \mu x}}$, $x\in [0,\pi ]$.

 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και την κυρτότητα. 

γ) Να βρείτε το όριο 

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\eta \mu 2x-x}{xf(x)}}$. 

δ) Να λύσετε την εξίσωση 

$2f(x)=(2x-\pi )f^{\prime }(x)+1$. 

ε) Να εξετάσετε αν η ευθεία $x=\rho$, όπου $\rho$ η ρίζα της εξίσωσης του ερωτήματος (δ), χωρίζει το χωρίο $\mathrm{\Omega }$ που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και τον άξονα $x^{\prime }x$, σε δύο ισεμβαδικά χωρία.