Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [9]

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{x-1}},& x<1\\ e^{x-1}+\ln x-2,& x\ge 1\end{array}$ 

α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη συνέχεια. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα. 

γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$. 

δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα $(1,2)$. 

ε) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται. 

στ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $f(x)=\alpha$, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\alpha$. 

ζ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\kappa >1$ υπάρχει μοναδικό $\xi \in (1,+\mathrm{\infty })$ τέτοιο, ώστε να ισχύει

 $f(\xi )={\displaystyle \frac{f(\kappa )+\kappa f(\kappa +1)+(\kappa +1)f(\kappa +2)}{2(\kappa +1)}}$.