Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [5]

Έστω συνεχής συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $(0,+\mathrm{\infty })$, για την οποία ισχύουν: 

• $f(x)>0$ για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 
• $\underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-4}{x-2}}=4(ln2+1)$ 
• Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(1,+\mathrm{\infty })$ με $f^{\prime }(x)=f(x)(\ln x+1)$ 
• Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(0,1)$ με $f^{\prime }(x)=f(x)\left({\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}\right)$ 

A. Να υπολογιστεί το $f(2)$} 

B. Να βρεθεί ο τύπος της $f$

Γ. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει:

• ακριβώς ένα $x_0\in (0,+\mathrm{\infty })$ ώστε $f(x_0)=3$ 
• τουλάχιστον ένα $\xi \in (\frac{1}{2},x_0)$

 τέτοιο ώστε 

$2(2x_0-1)f^{\prime }(\xi )=11$ 

Δ. Δίνεται η συνάρτηση 

$g(x)=e^{-x}(x^2-x+2)$.} 

Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f,g$: 

1. Στο διάστημα $(0,1)$ έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο. 
2. Δεν δέχονται κοινή εφαπτομένη.

@maths4people