Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [7]

Έστω συνάρτηση $g:[0,+\mathrm{\infty })\to [0,+\mathrm{\infty })$ για την οποία ισχύει: 

$$(g\circ g)(x)-g(x)=e^x-\ln (x+1)-1,\text{για κάθε }x\ge 0.$$ Α. Να δείξετε ότι η $g$ αντιστρέφεται.

Β. Δίνεται, επίσης, ότι η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0,+\mathrm{\infty })$ με $g^{\prime }(0)\ne 0$. 

1. Να δείξετε ότι η $g$ δεν έχει ακρότατα στο διάστημα $(0,+\mathrm{\infty })$. 

2. Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_g$ στο $x_0=0$. 

3. Να υπολογίσετε το όριο: 

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(g(x))$. 

4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$g(g(x))=1821$ 

έχει τουλάχιστον μία λύση $x_0$, με $x_0\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

5. Να δείξετε ότι υπάρχει $\xi \in (0,x_0)$ ώστε: 

$x_0(g^{\prime }(\xi )+e^{\xi }-{\displaystyle \frac{1}{\xi +1}})=1821$.

Γ. Δίνεται η συνάρτηση $f$ με τύπο 

$f(x)=2x^3-3x^2$ 

στο $\mathbb{R}$.

Να μελετήσετε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

Να λυθεί η ανίσωση: 

$2(g(x)+e^2-1{)}^3+3(g(g(x))+\ln 3{)}^2>$

$>3(g(x)+e^2-1{)}^2+2(g(g(x))+\ln 3{)}^3.$

Να βρεθούν οι τιμές του $\alpha \in \mathbb{R}$ ώστε η εξίσωση 

$g(g(x))=f(\alpha )$ 

να είναι αδύνατη.

@maths4people