Προτεινόμενο Θέμα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2025 στα Μαθηματικά [8]

 Του Δημήτρη Σπαθάρα  

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x\ln x}{x-1}}+3-\underset{x\to 1}{lim}f(x),& \text{αν }0<x\ne 1\\ 2,& \text{αν }x=1\end{array}$ 

Δ1) Να δείξετε ότι 

$\underset{x\to 1}{lim}f(x)=2$. 

Δ2) Να δείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής, γνησίως αύξουσα και κοίλη στο $(0,+\mathrm{\infty })$. 

Δ3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας $AB$, όπου $A(1,f(1))$ και $B(2,f(2))$ και στη συνέχεια να δείξετε ότι για κάθε $x\in [1,2]$ η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται πάνω από την ευθεία $AB$ εκτός από τα κοινά τους σημεία $A$ και $B$. 

Δ4) α) Να δείξετε ότι 

${\int }_1^{2}f(x)dx>{\displaystyle \frac{3+\ln 4}{2}}$.

 β) Να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω ανισότητας.

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση