Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [20]

Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, με 

$f(e)=g(1)=1$, $f(e^{-1})=-1$ και $g(e)=e^{-1}$

οι οποίες ικανοποιούν τις συνθήκες: 

• $f^{\prime }(x)=g(x)$, για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 
• $xf(x)f^{\prime }(x)+x^2{g}^2(x)+x^{2}f(x)g^{\prime }(x)=1$, για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)g(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$, $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

 Αν επιπλέον θεωρήσουμε τη συνάρτηση $h(x)=f(x)g(x)$, $x\in (0,+\mathrm{\infty })$, τότε: 

 β) i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $h$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 

 ii) Να αποδείξετε ότι 

$xe\le e^x$

για κάθε $x\in (0,+\mathrm{\infty })$. 

 γ) Να βρείτε: 

 i) Τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης $C_h$ της συνάρτησης $h$. 

 ii) Την εξίσωση της εφαπτομένης $\epsilon$ της γραφικής παράστασης $C_h$ της συνάρτησης $h$, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 

 δ) Να βρείτε το εμβαδόν $E$ του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση $C_h$ της συνάρτησης $h$, την εφαπτομένη $\epsilon$ και την οριζόντια ασύμπτωτη της $C_h$ στο $+\mathrm{\infty }$. 

ε) Να βρείτε τις συναρτήσεις $f$ και $g$.