Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [8]

Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$, για την οποία ισχύουν: 

• $f(1)=0$ 
• $x^2{f}^{\prime }(x)+1=4{\int }_1^{e}f(x)dx-xf(x)$, για κάθε $x>0$. 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$

για κάθε $x>0$. 

β) Να αποδείξετε ότι 

$f(x)\le x-1$

για κάθε $x>0$. 

γ) Να αποδείξετε ότι 

${\int }_0^1{\displaystyle \frac{(2x+3)-x}{e^x}}dx<3-{\displaystyle \frac{4}{e}}$. 

δ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις $C_f$ και $C_g$ των συναρτήσεων $f$ και $g(x)=-x^2$ αντιστοίχως έχουν μια τουλάχιστον κοινή εφαπτομένη.