Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [12]

Δίνονται οι συναρτήσεις 

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{e^x}{x^x}},& x>0\\ 1,& x=0\end{array}$ 

και 

$g(x)={\ln }^{2}x-{\displaystyle \frac{1}{x}},x>0$. 

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0=0$. 

β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία και να χαρακτηρίσετε τα ακρότατα. 

γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $g(x)=0$ έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα $(0,+\mathrm{\infty })$. 

δ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη κυρτότητα και να αποδείξετε ότι η $C_f$ έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής.