Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [7]

Έστω μία συνεχής συνάρτηση $f:(-e,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ με $f(0)=1$, η οποία ικανοποιεί τη σχέση 

$e^{f(x)}={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(x)}}$ 

για κάθε $x\in (-e,+\mathrm{\infty }).$ 

α) Να αποδείξετε ότι

 $f(x)=\ln (x+e)$, $x\in (-e,+\mathrm{\infty })$. 

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της. 

γ) Να υπολογίσετε το όριο 

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(f(x)-x)$. 

δ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση $C_f$ της συνάρτησης $f$ και τους ημιάξονες $O{x}^{\prime }$ και $Oy$. 

ε) Να βρείτε τον θετικό πραγματικό αριθμό $a$, αν ισχύει 

$e^{f(x)}+2e^x-xa\ge e+2$ 

για κάθε $x>-e$. 

στ) Να αποδείξετε ότι 

${\int }_{\frac{1}{2}}^1{\displaystyle \frac{\ln (x+e)}{\ln (x^2+e)}}dx>{\displaystyle \frac{1}{2}}$.