Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Οι καθηγητές προτείνουν επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 45ο

 Του Βασίλη Παπαδάκη 

Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $𝑓:(0,𝜋)\to ℝ$, για την οποία ισχύουν 

$𝑓({\displaystyle \frac{\pi }{6}})=\frac{5\pi }{6}=𝑓({\displaystyle \frac{1}{2}})$, $𝑓\prime ({\displaystyle \frac{\pi }{6}})={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ 

και 

$𝑓(𝑥)+𝑓\prime \prime (𝑥)=0$ 

για κάθε $𝑥\in (0,𝜋)$.

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $ℎ:(0,𝜋)\to ℝ$ με 

$ℎ(𝑥)=𝑓\prime (𝑥)𝜎𝜐𝜈𝑥+𝑓(𝑥)𝜂𝜇𝑥$ 

είναι σταθερή. 

β) Να αποδείξετε ότι 

$𝑓(𝑥)=𝜂𝜇𝑥$ 

για κάθε $𝑥\in (0,𝜋)$ και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση. 

γ) Θεωρούμε σημείο $𝛭(𝑥,𝑓(𝑥))$ της γραφικής παράστασης της $f$ και έστω ${\rm N}$ η προβολή του $𝛭$ στον άξονα $𝑥\prime 𝑥$. 

Έστω επίσης $𝛦$ το εμβαδόν του τριγώνου $𝛰𝛭𝛮$, όπου ${\rm O}$ η αρχή των αξόνων. 

i) Να αποδείξετε ότι 

$𝛦(𝑥)={\displaystyle \frac{𝑥.𝜂𝜇𝑥}{2}}$ 

για κάθε $𝑥\in (0,𝜋)$ και να ορίσετε την $𝛦\prime (𝑥)$. 

ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $𝛦\prime (𝑥)=0$ έχει μοναδική λύση ${𝑥}_{𝑜}$ η οποία ανήκει στο $({\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$.

iii)Να αποδείξετε ότι η μέγιστη τιμή του εμβαδού $𝛦$ ισούται με $-{\displaystyle \frac{𝜂𝜇{𝑥}_0.𝜀𝜑{𝑥}_0}{2}}$, όπου ${𝑥}_{𝑜}$ η λύση της εξίσωσης $𝛦\prime (𝑥)=0$.

Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o

ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o
ΘΕΜΑ 5o
ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o
ΘΕΜΑ 9o

ΘΕΜΑ 10o

ΘΕΜΑ 11o

ΘΕΜΑ 12o

ΘΕΜΑ 13o

ΘΕΜΑΤΑ 14o - 23o

ΘΕΜΑ 24o

ΘΕΜΑ 25o

ΘΕΜΑΤΑ 26ο - 31ο

ΘΕΜΑΤΑ 32ο - 41ο

ΘΕΜΑ 42o

ΘΕΜΑ 43o

ΘΕΜΑ 44o