Του Βασίλη Παπαδάκη
Δίνεται δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $𝑓: (0, 𝜋) → ℝ$, για την οποία ισχύουν
$𝑓 (\dfrac{π}{6}) = \frac{5π}{6} = 𝑓 (\dfrac{1}{2})$, $𝑓′ (\dfrac{π}{6}) = \dfrac{\sqrt3}{2}$
και
$𝑓(𝑥) + 𝑓′′(𝑥) = 0$
για κάθε $𝑥 ∈ (0, 𝜋)$.
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $ℎ: (0, 𝜋) → ℝ$ με
$ℎ(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝜎𝜐𝜈𝑥 + 𝑓(𝑥)𝜂𝜇𝑥$
είναι σταθερή.
β) Να αποδείξετε ότι
$𝑓(𝑥) = 𝜂𝜇𝑥$
για κάθε $𝑥 ∈ (0, 𝜋)$ και να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση.
γ) Θεωρούμε σημείο $𝛭(𝑥, 𝑓(𝑥))$ της γραφικής παράστασης της $f$ και έστω $Ν$ η προβολή του $𝛭$ στον άξονα $𝑥′𝑥$.
Έστω επίσης $𝛦$ το εμβαδόν του τριγώνου $𝛰𝛭𝛮$, όπου $Ο$ η αρχή των αξόνων.
i) Να αποδείξετε ότι
$𝛦(𝑥) = \dfrac{𝑥.𝜂𝜇𝑥}{2}$
για κάθε $𝑥 ∈ (0, 𝜋)$ και να ορίσετε την $𝛦′(𝑥)$.
ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $𝛦′(𝑥) = 0$ έχει μοναδική λύση $𝑥_𝑜$ η οποία ανήκει στο $(\dfrac{π}{2}, \dfrac{2π}{3})$.
iii)Να αποδείξετε ότι η μέγιστη τιμή του εμβαδού $𝛦$ ισούται με $−\dfrac{𝜂𝜇𝑥_{0}.𝜀𝜑𝑥_{0}}{2}$, όπου $𝑥_𝑜$ η λύση της εξίσωσης $𝛦′(𝑥) = 0$.
ΘΕΜΑ 42o
ΘΕΜΑ 42o
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου