Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $f : R\rightarrow R$, για την οποία ισχύει
$\lim_{x \rightarrow1} \dfrac{f(x+2)-5}{x-1}=6$.
α) Να αποδείξετε ότι:
i) $f (3) =5 $ και
ii) $f '(3) = 6$
β) Να υπολογίσετε το όριο
$\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{x+2-f(x)}{ημ(x-3)}$
γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης
$h(x) = xf(x) - 3x - 7συνx$, $x\in R$,
τέμνει τον άξονα $x΄x$ τουλάχιστον σε ένα σημείο.
δ) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $g: R\rightarrow R$, για την οποία ισχύει $g'(x)\leq f'(3)$, για κάθε $x\in R$.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $g(x) = x^6$, έχει το πολύ μία ρίζα μεγαλύτερη του $1$.
Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2014».
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου