Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 10ο

Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $f : R\rightarrow R$, για την οποία ισχύει 

$\lim_{x \rightarrow1} \dfrac{f(x+2)-5}{x-1}=6$.

α) Να αποδείξετε ότι: 

i) $f (3) =5 $ και 

ii) $f '(3) = 6$

β) Να υπολογίσετε το όριο 

$\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{x+2-f(x)}{ημ(x-3)}$

γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 

$h(x) = xf(x) - 3x - 7συνx$, $x\in R$, 

τέμνει τον άξονα $x΄x$ τουλάχιστον σε ένα σημείο. 

δ) Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση $g: R\rightarrow R$, για την οποία ισχύει $g'(x)\leq f'(3)$, για κάθε $x\in R$. 

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $g(x) = x^6$, έχει το πολύ μία ρίζα μεγαλύτερη του $1$.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2014».

Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o
ΘΕΜΑ 5o
ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o
ΘΕΜΑ 9o