Translate Whole Page to Read and Solve

Πέμπτη 23 Απριλίου 2020

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 9o

Έστω συνάρτηση f: µε f(x)0 για x η οποία είναι «11» και έχει την ιδιότητα: 
f1(x)=1f(x)
για κάθε x0
Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα =(0,+), τότε: 
α) Να αποδείξετε ότι
f(f(x))=1x και f(x)f(1x)=1
για κάθε x0
β) Να αποδείξετε ότι 
f(1)=1 και f(1)=1 
γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 
f1(x)=x 
είναι αδύνατη. 
δ) Αν η f είναι συνεχής, τότε να αποδείξετε ότι: 
i) f(x)<0 για κάθε x>0 και f(x)>0, για κάθε x<0
ii) H f δεν µπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (,0).
Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2008».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o

ΘΕΜΑ 4o

ΘΕΜΑ 5o

ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o