Πέμπτη, 23 Απριλίου 2020

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 9o

Έστω συνάρτηση $f : \Re→ \Re^{*}$ µε $f(x)≠ 0$ για $x∈\Re^{*}$ η οποία είναι $«1-1»$ και έχει την ιδιότητα: 
$f^{-1}(x) = \dfrac{1}{f(x)}$
για κάθε $x ≠ 0$
Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα $∆ = (0,+∞)$, τότε: 
α) Να αποδείξετε ότι
$f(f(x)) = \dfrac{1}{x}$ και $f(x)f(\dfrac{1}{x})= 1$
για κάθε $x ≠0$. 
β) Να αποδείξετε ότι 
$f(1) =−1$ και $f(−1) =1$ 
γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 
$f^{-1}(x) =x$ 
είναι αδύνατη. 
δ) Αν η $f$ είναι συνεχής, τότε να αποδείξετε ότι: 
i) $f(x)< 0$ για κάθε $x >0$ και $f(x) > 0$, για κάθε $x <0 $
ii) H $f$ δεν µπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα $(−∞,0)$.
Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2008».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o

ΘΕΜΑ 4o

ΘΕΜΑ 5o

ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου