Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 9o

Έστω συνάρτηση $f : \Re→ \Re^{*}$ µε $f(x)≠ 0$ για $x∈\Re^{*}$ η οποία είναι $«1-1»$ και έχει την ιδιότητα: 

$f^{-1}(x) = \dfrac{1}{f(x)}$

για κάθε $x ≠ 0$

Αν η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα $∆ = (0,+∞)$, τότε: 

α) Να αποδείξετε ότι

$f(f(x)) = \dfrac{1}{x}$ και $f(x)f(\dfrac{1}{x})= 1$

για κάθε $x ≠0$. 

β) Να αποδείξετε ότι 

$f(1) =−1$ και $f(−1) =1$ 

γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$f^{-1}(x) =x$ 

είναι αδύνατη. 

δ) Αν η $f$ είναι συνεχής, τότε να αποδείξετε ότι: 

i) $f(x)< 0$ για κάθε $x >0$ και $f(x) > 0$, για κάθε $x <0 $

ii) H $f$ δεν µπορεί να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα $(−∞,0)$.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2008».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:

ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o
ΘΕΜΑ 5o
ΘΕΜΑ 6o
ΘΕΜΑ 7o
ΘΕΜΑ 8o