Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 2o

Δίνεται η συνάρτηση $f: (1,+\infty)→R$, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: 

 $f (e^x+ 1) = x +  e^x +1$ 

για κάθε $x∈R$ 

α) Να αποδείξετε ότι 

$f(x) = ln(x - 1) +  x$ , $x∈(1,+\infty)$ 

β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε το πεδίο ορισμού της $f ^{−1}$.

γ) Να αποδείξετε ότι οι $C_f$ και $C_{f ^{−1}}$ έχουν ένα κοινό σημείο, το οποίο και να προσδιορίσετε. 

δ) Να υπολογίσετε το $f (e^2 +1)$ και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση 

$f^{-1}(x +1) - 1 = f^{-1}(e^2 +3)$ 

ε) Να λύσετε την ανίσωση 

$f ^{-1}(x) > x$

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2016».
Δείτε παρακάτω το προηγούμενο θέμα:

ΘΕΜΑ 1o