Translate Whole Page to Read and Solve

Τετάρτη 8 Απριλίου 2020

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 1o

Δίνεται η συνάρτηση 
f(x)={1x1x<1ex1+lnx2x1 
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη συνέχεια. 
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα. 
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
f(x)=0 
έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (1,2)
ε) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f αντιστρέφεται. 
στ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης
f(x)=α 
για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού α
ζ) Να αποδείξετε ότι για κάθε κ>1 υπάρχει μοναδικό ξ(1,+) τέτοιο, ώστε να ισχύει
f(ξ)=f(κ)+κf(κ+1)+(κ+1)f(κ+2)2(κ+1).
Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2018».