Τετάρτη, 8 Απριλίου 2020

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 1o

Δίνεται η συνάρτηση 
$f(x) =\begin{cases} \dfrac{1}{x-1}  & x <1\\e^{x-1} + lnx - 2 & x  \geq  1\end{cases}$ 
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη συνέχεια. 
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα. 
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$ . 
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
$f (x)=0$ 
έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα $(1,2)$. 
ε) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται. 
στ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης
$f (x)=α$ 
για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $α$. 
ζ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $κ>1$ υπάρχει μοναδικό $ξ \in (1, +  \infty )$ τέτοιο, ώστε να ισχύει
$f(ξ) = \dfrac{f(κ) + κf(κ +1) + (κ +1)f(κ +2)}{2(κ +1)}$.
Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2018».

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου