Δίνεται η συνάρτηση
$f(x) =\begin{cases} \dfrac{1}{x-1} & x <1\\e^{x-1} + lnx - 2 & x \geq 1\end{cases}$
α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη συνέχεια.
β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση $f$ ως προς την μονοτονία και την κυρτότητα.
γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης $f$ .
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
$f (x)=0$
έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα $(1,2)$.
ε) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται.
στ) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης
$f (x)=α$
για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $α$.
ζ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $κ>1$ υπάρχει μοναδικό $ξ \in (1, + \infty )$ τέτοιο, ώστε να ισχύει
$f(ξ) = \dfrac{f(κ) + κf(κ +1) + (κ +1)f(κ +2)}{2(κ +1)}$.
Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2018».
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου