Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 7o

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: [0, 8] \rightarrow R$, η οποία ικανοποιεί τη σχέση 

$f^{3}(x) + f (x) = x + 2$     

για κάθε $x \in [0, 8]$.

Να αποδείξετε ότι: 

α) Η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. 

β) $ f \big( \dfrac{23}{8} \big) = \dfrac{3}{2} $

γ) Η συνάρτηση $f$ είναι αντιστρέψιμη και να ορίσετε τη συνάρτηση $f^{-1}$. 

δ) Οι γραφικές παραστάσεις $Cf$ και $Cf^{-1}$ των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ αντίστοιχα, έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο και να βρείτε τις συντεταγμένες του.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2014».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:
ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o
ΘΕΜΑ 5o
ΘΕΜΑ 6o