Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 5o

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

$x^{2}f(x)-2x^5+1-\sigma \upsilon {\nu }^{2}x=0$, 

για κάθε $x\in R$. 

α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $f$.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. 

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\in R^{\ast }$ είναι

$f(x)>2x^3-1$.

δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

$F(x)=f(x)+{\displaystyle \frac{\eta {\mu }^{2}x}{x^2}}$ 

αντιστρέφεται και να ορίσετε την $F^{-1}$.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2014».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:
ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o