Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προτείνει επαναληπτικά θέματα - ΘΕΜΑ 5o

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

$x^{2}f(x) - 2x^5 + 1 - συν^{2}x = 0$, 

για κάθε $x\in R$. 

α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $f$.

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $f(x)= 0$ έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. 

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x\in R^*$ είναι

$f (x)> 2x^{3} - 1$.

δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

$F(x) = f(x)+ \dfrac{ημ^{2}x}{x^2}$ 

αντιστρέφεται και να ορίσετε την $F^{-1} $.

Από το αρχείο της Ε.Μ.Ε, «Επαναληπτικά Θέματα 2014».
Δείτε παρακάτω τα προηγούμενα θέματα:
ΘΕΜΑ 1o
ΘΕΜΑ 2o
ΘΕΜΑ 3o
ΘΕΜΑ 4o